Билет №4.(решен)
Задача №1. В окружность вписан одиннадцатиугольник, одна из сторон которого равна радиусу окружности, а остальные десять сторон равны между собой. Найдите углы одиннадцатиугольника.
Д
ано:
A1A2…A11
– одиннадцатиугольник
А1А2 = ОА1 = r
A2A3 = A3A4 = … = A11A1
Решение.
Соединим О с вершинами А1, А2, ..., А11.
Т.к. А1А2 =
ОА1 = ОА2, то
- равносторонний =>
2) Т.к. хорды A2A3,
A3A4,
…, A11A1
равны, то равны и дуги, ими
стягиваемые, тогда
3)
и равнобедренные, поэтому
Тогда
;
Ответ: 2 угла по 135° и 9 углов по 150°.
Задача №2. На окружности с центром в точки О выбраны точки M и N. Вторая окружность вдвое меньшего радиуса касается первой в точке M и делит пополам отрезок ON. Найдите угол ONM.
Д
ано:
Окр.
;
Окр.
;
Найти:
Решение.
I способ
(по условию) и
- средняя линия треугольника
,
значит,
и
как соответствующие углы при
и сек.
.
,
как радиусы одной окружности, аналогично
-
равносторонний и
,
тогда
О
твет:
II способ.
Пусть
-
радиус меньшей окружности, тогда
(т.к. разделен отрезок ON
пополам).
Соединим K и M,
,
т.к. опирается на диаметр.
-
прямоугольный
В
-
высота и медиана
-
равнобедренный,
и
Ответ:
Билет №5.
(решена)
Задача №1.
Точка
F
лежит на стороне АВ правильного
восьмиугольника ABCDMNPQ
так, что AF=3
,
FB=
.
Найдите расстояния от точки F
до BC
и PN.
Д
ано:
- правильный восьмиугольник.
,
Найти:
и
Решение.
Нахождение радиуса:
Рассмотрим
.
По теореме косинусов:
:
2)
-
равнобедренный, т.к.
(
).
Пусть
,
тогда по теореме Пифагора:
(
).
3)
Тогда
Ответ: 1 и
.
З
адача
№2.
ABCDЕF
– правильный шестиугольник площади S.
Какая фигура образуется в пересечении
треугольников ACE
и BDF?
Найдите её площадь.
Дано: ABCDЕF – правильный шестиугольник
Решение.
1) Очевидно, что
,
тогда
…,
-
равносторонние
,
(
в силу симметрии правильного шестиугольника)
MNLPQR – правильный
шестиугольник.
2)
Ответ:
Билет №6.
решена
З
адача
№1. В
треугольнике АВС АВ=2, ВС=3 и угол ВАС в
3 раза больше угла ВСА. Найдите радиус
описанной окружности.
Дано:
Решение.
Пусть
,
тогда
.
По теореме синусов:
Ответ:
Задача №2.
В
треугольнике АВС из вершины В проведены
высота ВН и биссектриса угла В, которая
пересекает в точке Е описанную около
треугольника окружность с центром О.
доказать, что луч ВЕ является биссектрисой
угла ОВН.
Дано:
вписан в окружность
(O;
r), BE –
биссектриса, BH – высота.
Решение.
I способ.
Биссектриса BE и перпендикуляр
к стороне AC, проходящий
через ее сторону, пересекает дугу AC
в одной точке – ее середине E,
значит,
Q – точка пересечения BO с окружностью, тогда
,
откуда
,
значит, ВЕ является биссектрисой угла
ОВН, ч.т.д.
II способ.
Т.к.
AC и BF –
пересекающиеся хорды, то
- полуокружность, тогда
,
т.к. BE – биссектриса, тогда
,
значит, ВЕ является биссектрисой угла
ОВН, ч.т.д.