§7 Системы лду 1 порядка с постоянными коэффициентами; операционный метод решения задачи Коши.

Пусть

Тогда уравнение определяет систему ЛДУ, а

(1)

- задачу Коши с начальными условиями для этой системы.

Например, для система (1) имеет явный вид:

Предположим, что функции являются оригиналами. Выполним для уравнения (1) преобразование Лапласа:

Таким образом, преобразование Лапласа отображает задачу Коши для системы ЛДУ во множестве оригиналов в систему линейных алгебраических уравнений во множестве изображений, причем матрица СЛАУ равна , а вектор правых частей равен .

Соответствующая СЛАУ для рассматриваемого примера имеет вид:

Решение СЛАУ будем искать по теореме Крамера

Обратное преобразование Лапласа восстанавливает оригинал - вектор-решение задачи Коши