1. Прямоугольной матрицей размера m´n называется совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n столбцов.

                                                                 (4.1)

или сокращенно в виде A = (a _{i j} ) (i = ; j = ). Числа a _{i j}, составляющие данную матрицу, называются ее элементами; первый индекс указывает на номер строки, второй - на номер столбца. Две матрицы A = (a _{i j} ) и B = (b _{i j} ) одинакового размера называются равными, если попарно равны их элементы, стоящие на одинаковых местах, то есть A = B, если a _{i j} = b _{i j}.

Матрица, состоящая из одной строки или одного столбца, называется соответственно вектор-строкой или вектор-столбцом. Вектор-столбцы и вектор-строки называют просто векторами.

Матрица, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом. Матрица размера m´n, все элементы которой равны нулю, называются нулевой матрицей и обозначается через 0. Элементы матрицы с одинаковыми индексами называют элементами главной диагонали. Если число строк матрицы равно числу столбцов, то есть m = n, то матрицу называют квадратной порядка n. Квадратные матрицы, у которых отличны от нуля лишь элементы главной диагонали, называются диагональными матрицами и записываются так:

.

Если все элементы a _{i i} диагональной матрицы равны 1, то матрица называется единичной и обозначается буквой Е:

                                                                          .

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, стоящие выше (или ниже) главной диагонали, равны нулю. Транспонированием называется такое преобразование матрицы, при котором строки и столбцы меняются местами с сохранением их номеров. Обозначается транспонирование значком Т наверху.

Пусть дана матрица (4.1). Переставим строки со столбцами. Получим матрицу

,

которая будет транспонированной по отношению к матрице А. В частности, при транспонировании вектора-столбца получается вектор-строка и наоборот.

Произведением матрицы А на число l называется матрица, элементы которой получаются из соответствующих элементов матрицы А умножением на число l: l A = (l a _{i j} ).

Суммой двух матриц А = (a _{i j} ) и B = (b _{i j} ) одного размера называется матрица C = (c _{i j} ) того же размера, элементы которой определяются по формуле c _{i j} = a _{i j} + b _{i j}.

Произведение АВ матрицы А на матрицу В определяется в предположении, что число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

Произведением двух матриц А = (a _{i j} ) и B = (b _{j k} ), где i = , j= , k= , заданных в определенном порядке АВ, называется матрица С = (c _{i k} ), элементы которой определяются по следующему правилу:

c _{i k} = a _{i 1} b _{1 k} + a _{i 2} b _{2 k} +... + a _{i m} b _{m k} = a _{i s} b _{s k}.                    (4.2)

Иначе говоря, элементы матрицы-произведения определяются следующим образом: элемент i-й строки и k-го столбца матрицы С равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы k-го столбца матрицы В.

2. Определителем n -го порядка, соответствующим матрице называется число равное сумме произведений элементов в каждой строке и в каждом столбце -

∆

Свойства определителей

СВОЙСТВО 1. Величина определителя не изменится, если все его строки и столбцы поменять местами

.

СВОЙСТВО 2. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна умножению его на -1. Например,

.

СВОЙСТВО 3. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.

СВОЙСТВО 4. Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число k равносильно умножению определителя на это число k. Например,

.

СВОЙСТВО 5. Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки равны нулю, то сам определитель равен нулю. Это свойство есть частный случай предыдущего (при k=0).

СВОЙСТВО 6. Если соответствующие элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

СВОЙСТВО 7. Если каждый элемент n-го столбца или n-й строки определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в n-м столбце или соответственно в n-й строке имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой - вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у вех трех определителей одни и те же. Например,

СВОЙСТВО 8. Если к элементам некоторого столбца (или некоторой строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (или другой строки), умноженные на любой общий множитель, то величина определителя при этом не изменится. Например,

.

Дальнейшие свойства определителей связаны с понятием алгебраического дополнения и минора. Минором некоторого элемента называется определитель, получаемый из данного путем вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.

Алгебраическое дополнение любого элемента определителя равняется минору этого элемента, взятому со своим знаком, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен элемент, есть число четное, и с обратным знаком, если это число нечетное.

Алгебраическое дополнение элемента мы будем обозначать большой буквой того же наименования и тем же номером, что и буква, которой обозначен сам элемент.

СВОЙСТВО 9. Определитель

равен сумме произведений элементов какого-либо столбца (или строки) на их алгебраические дополнения.

3. Определитель второго порядка

Определителем второго порядка называется число равное разности произведений элементов главной и второй диагонали:

Определитель третьего порядка

Определителем третьего порядка называется следующее выражение:

Определитель третьего порядка вычислить легко, если учесть следующее правило: со знаком плюс идут произведения троек чисел, расположенных на главной диагонали матрицы, и в вершинах треугольников с основанием параллельным этой диагонали и вершиной в противоположого угла матрицы. Со знаком минус идут тройки из второй диагонали и из треугольноков, построенных относительно этой диагонали. Следующая схема демонстрирует это правило, называемое правилом треугольников. В схеме синим (слева) отмечены элементы, чьи произведения идут со знаком плюс, а зеленым (справа) - со знаком минус.

Определитель второго порядка вычисляется по формуле

     

Определитель третьего порядка вычисляется по формуле

     

Определители более высоких порядков.

Минором M_ij элемента a_ij (i,j=1,n) называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из определителя n-го порядка, вычерчиванием i-й строки и j-го столбца. Алгебраическое дополнение Aij элемента Aij определяется равенством 

A_ij=(-1)^i+j M_ij

Для произвольного натурального числа (теорема Лапласа, разложение по i-строке) 

4. Матрицей, обратной матрице А, называется матрица A^-1 такая, что A^-1A = A A^-1 = E.

Обратная матрица может существовать только для квадратной матрицы. Причем сама является той же размерности, что и исходная матрица.

Можно показать, что для того, чтобы квадратная матрица имела обратную, она должна быть невырожденной (т.е. Δ ≠0 ). Это условие является и достаточным для существования A-1 матрице А. Итак, всякая невырожденная матрица имеет обратную, и, притом, единственную.

Сформулируем правило нахождения обратной матрицы на примере матрицы А. 1. Находим определитель матрицы. Если Δ ≠0, то матрица A^-1 существует. 2. Составим матрицу В алгебраических дополнений элементов исходной матрицы А. Т.е. в матрице В элементом i - ой строки и j - го столбца будет алгебраическое дополнение A_ij (см. 1.3.) элемента a_ij исходной матрицы. 3. Транспонируем матрицу В и получим B^T.

Транспонировать матрицу - это значит поменять строки и столбцы местами (первый столбец с первой строкой, второй столбец со второй строкой и т. д.). 4. Найдем обратную матрицу

После вычисления обратной матрицы рекомендуется убедиться в том, что выполняется одна из частей условия.

Свойство обратной матрицы

.

Это свойство позволяет решать матричные уравнения вида

, или   т.е.

решение матричного уравнения имеет вид

Определение ранга матрицы

Рассмотрим прямоугольную матрицу

Выделим в этой матрице k произвольных строк и k произвольных столбцов (k≤n, k≤m). Определитель k-го порядка, составленный из элементов матрицы А, расположенных на пересечении выделенных строк и столбцов, называется минором k-го порядка матрицы. Так, у матрицы с тремя строками и пятью столбцами возможны миноры первого, второго и третьего порядка.

Рангом матрицы А (обозначается r(A)) называется наибольший порядок минора этой матрицы, отличного от нуля. Если все элементы матрицы равны нулю, то ранг такой матрицы принимают равным нулю.

Всякий отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен рангу этой матрицы, называется базисным минором матрицы.

Ранг матрицы не изменится от следующих преобразований, называемых элементарными преобразованиями матрицы : - замены строк столбцами, а столбцов соответствующими строками; - перестановки строк матрицы; - вычеркивания строки, все элементы которой равны нулю; - умножения строки на число, отличное от нуля; - прибавления к элементам строки соответствующих элементов другой строки, умноженной на одно и то же число.

Подчеркнем, что сама матрица при элементарных преобразованиях меняется, но ранг матрицы не изменится.