5.2 Характеристика искажений проекции

При картографировании искажения неизбежны. Полную и наглядную характеристику искажений любой проекции в любой ее точке дает эллипс искажений.

Эллипс искажений является изображением на карте бесконечно малой окружности на поверхности Земли с центром в этой точке.

Н

Меридиан

а земной поверхности (рис. 5.1) показана окружность бесконечно малого радиуса r₀ с центром в точке M₀. Отрезки меридиана и параллели точки M₀, ограниченные этой бесконечно малой окружностью, спроектированы на плоскость.

Параллель

Параллель

Рис. 5.1. Окружность на земной поверхности (а)

и эллипс искажений (б) на карте

В общем случае, вследствие бесконечно малой их величины, эти отрезки изобразятся прямыми линиями, но пересечение их на карте в точке М обычно уже не образует прямого угла. Если на земной поверхности точка окружности Р₀ имеет прямоугольные координаты x₀ и y₀, то проекция этой точки Р на карте имеет косоугольные координаты х и у.

Обозначив масштаб вдоль меридиана т, а вдоль параллели п, согласно определению масштаба:

Так как на земной поверхности была показана окружность, то ее уравнение

С учетом выражений для т и п уравнение кривой, изображаю­щей исходную окружность на карте в данном масштабе, будет иметь вид:

или

Полученное выражение является уравнением эллипса.

Из множества взаимно перпендикулярных диаметров исходной окружности всегда имеются два, которые в проекции изображаются главными осями эллипса искажений. Направления этой пары называют главными направлениями. Во многих картографических проекциях главные направления не совпадают с меридианами и параллелями. Однако именно по этим направлениям значения масштабов экстремальны:

• вдоль большой оси эллипса масштаб максимален

• вдоль малой оси эллипса масштаб минимален

Считая r₀ = 1, μ_MAX = a, μ_MIN = b.

Эллипс искажений в данной точке данной проекции выражает общий характер и степень искажений по любому направлению. Это его свойство позволяет оценивать основные характеристики картографических проекций:

• масштабы площадей p,

• масштабы длин μ,

• искажения углов ω.

5.3 Классификация картографических проекций, используемых в судовождении

Картографической проекцией называется математически выраженный закон, связывающий географические координаты некоторой точки на поверхности Земли с прямоугольными координатами этой же точки на плоскости.

Общие уравнения картографических проекций имеют вид:

где:  и  - географические координаты некоторой точки на поверхности Земли;

x и y – прямоугольные координаты этой же точки на плоскости.

Свойства проекции будут зависеть от свойств и характера функций f₁ и f₂. Поскольку видов этих функций может быть множество, то и получаемые проекции и их характеристики тоже будут разнообразными.

Изображение семейства линий меридианов и параллелей на плоскости называется картографической сеткой.

Каждой проекции соответствует определенная картографическая сетка, которая и составляет математическую основу карт.

Проекции классифицируют по двум основным признакам:

• по характеру искажений;

• по виду меридианов и параллелей нормальной картографической сетки.

По характеру искажений различают:

• равноугольные,

• равновеликие,

• равнопромежуточные,

• произвольные картографические проекции.

Равноугольными проекциями называются проекции, не искажающие направлений и углов. В таких проекциях сохраняется подобие фигур, масштаб зависит от положения точки на карте и не зависит от направления.

На картах, составленных в равноугольных проекциях, углы и пеленги можно измерять и прокладывать непосредственно с помощью транспортира и протрактора. По сравнению с другими проекциями на них удобнее измерять расстояния. Благодаря этим особенностям они широко применяются при составлении морских навигационных карт.

Равновеликими или равноплощадными называются проекции, на которых масштаб площадей во всех точках карты одинаков и площади на картах пропорциональны площадям в натуре. На картах в таких проекциях искажаются углы и нарушается подобие фигур.

Равнопромежуточными называются проекции, в которых на картах в каждой точке сохраняются длины по одному из главных направлений. Это неравенство масштабов обусловливает искажение углов.

Произвольными называются проекции, в которых не соблюдается ни одно из указанных свойств. Из их числа в судовождении нашла применение центральная перспективная проекция, известная под названием гномонической. В этой проекции дуга большого круга — ортодромия — изображается прямой линией.

По виду меридианов и параллелей нормальной сетки различают:

• конические,

• азимутальные,

• цилиндрические,

• перспективные,

• произвольные (псевдоконические, псевдоцилиндрические, поликонические, круговые) проекции.

Коническими называются такие проекции, в которых параллели изображаются концентрическими окружностями, а меридианы — радиальными прямыми линиями (рис. 5.2).

В зависимости от ориентировки конуса относительно эллипсоида различают прямые, косые и поперечные конические проекции. В прямой проекции ось конуса совпадает с земной осью, в поперечной проекции — перпендикулярна земной оси, в косой — занимает промежуточное положение.

Рис. 5.2 Коническая проекция

Азимутальные проекции являются частным видом конических проекций.

Углы между меридиа­нами на местности равны углам на проекции.

Так же, как и конические, азимутальные проекции могут быть прямыми (б), косыми (в) и поперечными (а).

Рис. 5.3 Азимутальная проекция

Цилиндрическими называются проекции, на которых параллели картографической сетки представляют собой прямые, параллельные экватору, а меридианы — прямые, перпендикулярные параллелям. Более подробно цилиндрические проекции будут рассмотрены в разделе, посвященном Меркаторской проекции.

Так же, как и конические проекции, цилиндрические проекции могут быть прямыми, косыми и поперечными.

Перспективными называют проекции земной поверхности на касательную плоскость, получаемые прямым геометрическим проектированием из различных точек (рис. 5.4).

Все точки проектирования лежат на диаметре условного глобуса, пер­пендикулярном картинной плоскости или на продолжении этого диаметра. Перспективные проекции образуют самостоятель­ную группу азимутальных проекций.

Рис. 5.4 Перспективные проекции

В зависимости от удаления точки проектирования от центра условного глобуса, перспективные проекции бывают:

• центральные (гномонические), когда точка проектирования находится в центре условного глобуса;

• стереографические — точка проектирования удалена от центра на радиус условного глобуса;

• внешние — точка проектирования удалена на расстояние, большее радиуса условного глобуса;

• ортографические — точка проектирования удалена в бесконечность.