1. Существование:

Fix(a); ММИ по b

b=1:

Пусть выполняется одно из соотношений 1,2,3. Докажем, что тоже выполняется одно из трёх соотношений.

1. Пусть

Если k=1, то (соотношение 2)

Если k>1, то +m,

2. Если , значит

3. Если

15. Отношение «>» как отношение строгого порядка на множестве N. Свойство трихонометрии: единственность

Опр.1. Пусть , будем говорить, что , если , что

Свойство 1:

Док-во: ч.т.д.

Теорема_1(сво-во трихотомии): имеет место только одно из соотношений:

Док-во:

Докажем, что никакие два соотношения 1,2,3 не выполняются одновременно.

1. Пусть

2. 

3. 

16. Отношение «>» как отношение порядка на множестве N.

Опр.4.: Отношение R на множестве M называется отношением порядка, если оно:

1. Рефлексивно ( )

2. Антисимметричность (

3. Транзитивность:

Теорема 3: Отношение является отношением порядка на

Док-во: 1,2 – очевидно.

1. 

2. 

3. ч.т.д.

Сво-во 2:

Док-во: ММИ по a

Пусть . Докажем, что : по свойству 1:

ч.т.д.

17. Отношение «>» как отношение линейного порядка на множестве N.

Опр.4: Отношение порядка R на множестве называется линейным, если .

Теорема 4: Отношение является отношением линейного порядка на множестве : .

Док-во:

Fix(b); ММИ по a

пусть для a выполняются следующее: .Докажем, что .

Если , то

Если , то

Если

Если k=1, то

Если k>1, то

ч.т.д.

18. Закон монотонности сложения на множестве N и следствия из него

Теорема 5: (закон монотонности сложения):

Док-во: 1. ( )

Если , то

Если

( )

Пусть

2. аналогично.

ч.т.д.

Следствие:

1. 

2. 

19. Закон монотонности умножения на множестве N и следствия из него

Теорема 6: (закон монотонности умножения):

Следствие:

1. 

2. 

20. Дискретность и архимедовость множества натуральных чисел

Сво-во: (архимедовасть множества чисел):

Док-во:

ч.т.д.

Сво-во: (дискретность множества чисел):

Док-во:

ч.т.д.

21. Разность натуральных чисел: определение и единственность. Условие существования разности натуральных чисел

Опр.: Натуральное число (если оно ) называется разностью чисел и , если .

Замечание: Разность есть решение уравнения .

Теорема 1:

1. ;

2. Если разность , то она определена единственным образом.

Доказательство:

1. пусть ;

2. 

.

22. Свойства разности натуральных чисел

Теорема 2:

1. ;

2. .

Доказательство:

1. 

;

2. Пусть