5. Теорема о сложении натуральных чисел: единственность
При фиксированном числе а функция f определяет функцию , которая удовлетворяет следующим условиям
( 1) (2)
Теорема: Сложение натуральных чисел всегда можно выполнить и оно определено единственным образом.
Доказательство:
Единственность.
Достаточно доказать, что функция
,
которая удовлетворяет условиям (1) и
(2) определена единственным образом.
Пусть
(3),
(4)
Докажем
6. Теорема о сложении натуральных чисел: существование
При фиксированном числе а функция f определяет функцию , которая удовлетворяет следующим условиям
( 1) (2)
Теорема: Сложение натуральных чисел всегда можно выполнить и оно определено единственным образом.
Существование.
Докажем, что
,
которая удовлетворяет условиям (1) и
(2).
(5)
,
(6)
По определению
7.Ассоциативность сложения натуральных чисел
Опр.1 Сложением на множестве натуральных чисел называется бинарная алгебраическая операция . Она обозначается знаком «+» и результат называется суммой которая удовлетворяет следующим условиям:
1) 2)
Теорема
(Закон ассоциативности сложения)
Доказательство: выберем а и b произвольным образом и зафиксируем их. Докажем ММИ по (с)
8. Коммутативность сложения натуральных чисел
Опр.1 Сложением на множестве натуральных чисел называется бинарная алгебраическая операция . Она обозначается знаком «+» и результат называется суммой которая удовлетворяет следующим условиям:
1) 2)
Теорема
(Закон коммутативности сложения)
Доказательство: ММИ по (а)
,
докажем
-
истина. Пусть
.
Нужно доказать:
ММИ по (b) а=1 , а+1=1+а - доказано. Пусть
9. Умножение натуральных чисел: определение, примеры. Теорема об умножении натуральных чисел: единственность
Определение.
Умножением нат. чисел
,кот. удовлетворяет следующим условиям
Теорема. Умножение натуральных чисел возможно выполнить и оно определено единственным образом
Пример. Найти произведение 3·5 по определению
10. Умножение натуральных чисел: определение, примеры. Теорема об умножении натуральных чисел: существование
Определение. Умножением нат. чисел
,кот. удовлетворяет следующим условиям
Теорема. Умножение натуральных чисел возможно выполнить и оно определено единственным образом
Пример. Найти произведение 3·5 по определению
11. Закон дистрибутивности на множестве натуральных чисел (правый)
Определение. Умножением нат. чисел
,кот. удовлетворяет следующим условиям
Теорема 2. (закон дистрибутивности)
Док. ММИ(с)
с=1
пусть
док.
12. Коммутативность умножения натуральных чисел. Закон дистрибутивности на множестве натуральных чисел (правый)
Определение. Умножением нат. чисел
,кот. удовлетворяет следующим условиям
Теорема 3. (закон коммутативности)
Док.
1.
ММИ(
)
- истина
пусть
доказать
2.
ММИ(а)
а=1
Теорема 3. (левый закон дистрибутивности)
Док.
13. Ассоциативность умножения натуральных чисел.
Определение. Умножением нат. чисел
,кот. удовлетворяет следующим условиям
Теорема 5. (закон ассоциативности умножения)
Док.
ММИ(с)
пусть
док.
14. Отношение «>» как отношение строгого порядка на множестве N. Свойство трихонометрии: существование
Опр.1.
Пусть
,
будем говорить, что
,
если
,
что
Свойство
1:
Док-во:
ч.т.д.
Теорема_1(сво-во трихотомии): имеет место только одно из соотношений:
Док-во: