- •1.Множество натуральных чисел n. Аксиомы Пеано
- •2.Независимость аксиом Пеано
- •3. Принцип полной математической индукции. Обобщенный принцип полной математической индукции. Примеры доказательства методом математической индукции
- •4. Сложение натуральных чисел как бинарная алгебраическая операция и как функция. Примеры. Свойство сокращения
- •5. Теорема о сложении натуральных чисел: единственность
- •6. Теорема о сложении натуральных чисел: существование
- •7.Ассоциативность сложения натуральных чисел
- •8. Коммутативность сложения натуральных чисел
- •Существование:
- •23. Частное натуральных чисел: определение и единственность. Свойства частного натуральных чисел
- •26. Свойства сложения и вычитания для натуральных чисел: .
- •27. Суммы и произведения нескольких натуральных чисел. Обобщенный закон дистрибутивности. Степень натурального числа с натуральным показателем и ее свойства
- •28. Равномощные множества. Отношение эквивалентности «быть равномощным». Отрезок натурального ряда. Конечные и бесконечные множества
- •29. Теорема о равномощности конечного множества только одному отрезку натурального ряда
- •30. Лемма о наибольшем и наименьшем элементе в конечном множестве. Бесконечность множества натуральных чисел
- •31. Счетность множеств целых и рациональных чисел. Несчетность множества действительных чисел
- •32. Отношение эквивалентности на множестве n2. Определение целого числа как класса эквивалентности на n2. Примеры
- •33. Определение суммы целых чисел и его корректность
- •34. Свойство сложения целых чисел
- •35. Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства
- •38. Вложение множества натуральных чисел в кольцо целых чисел. Множество положительных целых чисел: определение, корректность определения, описание
- •40. Целое число как разность двух натуральных чисел. Отрицательные и положительные числа. Архимедовость и дискретность кольца целых чисел
- •41. Определение рациональных чисел как классов эквивалентности
- •42. Определение суммы рациональных чисел и его корректность. Аддитивная абелева группа рациональных чисел
- •43. Определение произведения рациональных чисел и его корректность. Поле рациональных чисел.
- •46. Вложение кольца целых чисел в поле рациональных чисел. Изоморфизм колец
- •47. Рациональное число как частное двух целых чисел. Поле рациональных как наименьшее поле, которое содержит кольцо целых чисел
- •49. Представление бесконечных периодических десятичных дробей обыкновенными дробями: правило, примеры
- •50. Определение действительных чисел как бесконечных десятичных дробей. Множество конечных десятичных дробей. Подходящие дроби
- •51. Определение и свойства отношения порядка на множестве действительных чисел
- •52. Плотность множества д в множестве действительных чисел
- •53. Определение и свойство суммы и произведения действительных чисел. Поле действительных чисел и его свойства
- •54. Определение, свойства и алгебраические операции с комплексными числами
- •55. Определение кватернионов. Алгебраические операции над кватернионами. Тело кватернионов
- •56. Вложение поля комплексных чиселв тело кватернионов. Теорема Фробениуса
56. Вложение поля комплексных чиселв тело кватернионов. Теорема Фробениуса
Утверждение:
Тело кватернионов H содержит поле комплексных чисел C
►q=a+bi+cj+dk →z=a+bi
Это соответствие взаимно-однозначно (биекция) и оно сохраняет операции сложения и умножения:
q1=a1+b1i+0j+0k
q+q1=(a+a1)+(b+b1)i+(c+0)j+(d+0)k
z+z1= (a+a1)+(b+b1)i
qq1=(aa1-bb1)+(ab1+a1b)i+0j+0k что соответствует
zz1=(aa1-bb1)+(ab1+a1b)i
Таким образом, множество кватернионов вида q1=a1+b1i+0j+0k изоморфно полю комплексных чисел, отсюда следует что тело кватернионов есть одно из расширений поля комплексных чисел. ◄
Теорема Фробениуса:
Алгебра с делением над полем действительных чисел является или полем действительных чисел или полем комплексных чисел или телом кватернионов.
Замечание:
Теорема устанавливает предел расширения числовых полей, а именно последним числовым полем, включающим все предшествующие числовые поля и кольца. Порядки их расширения являются телом кватернионов (не коммутативным).
Если же не требуется что бы числовая система была алгеброй с делением, то возможно построение сколько угодно гиперкомплексных систем или алгебр любого ранга, причем не только над R, но и над другими полями.
Например:
Над полем C можно построить алгебру B–кватернионов, так же как алгебру А кватернионов. Строится над полем R и имеет вид A+Bi+Cj+Dk. A, B,C, D ϵ С и 1, i, j, k – элементы базиса с той же таблицы умножения как в алгебре кватернионов, но алгебра B-кватернионов не обладает делением.