51. Определение и свойства отношения порядка на множестве действительных чисел

Опр.1. Отношением порядка называется рефлексивное, антисимметричное и транзитивное отношение на множестве.

Опр.2. Линейно упорядоченное множество называется плотным, если для любых разных элементов этого множества элемент, который находится между ними.

Теорема 1: Отношение «больше» на множестве действительных чисел является отношением строгого линейного порядка.

Док-во:

• Рефлексивность:

• Антисимметричность:

• Транзитивность:

Пусть n = max{k,m}, тогда .

• Линейность: отношение порядка называется линейным, если .

Свойство 1: На множестве D отношение порядка согласуется с отношением порядка на множестве рациональных чисел.

Док-во:

.

Так как в D дроби имеют конечную длину, то это же отношение выполняется и на D.

Ч.т.д.

52. Плотность множества д в множестве действительных чисел

Теорема 1. Множество D плотно в множестве действительных чисел, т.е. между любыми двумя не равными действительными числами находится конечная десятичная дробь.

Доказательство:

2.

3.

1. такое n по определению отношения “<”. Покажем, что дважды равенство получится не может ОП: , начиная с какого-то n, тогда:

= 9, начиная с некоторого индекса, а это невозможно по определению R числа ?! Таким образом, (1) одно из нестрогих неравенств является строгим для некоторого индекса n, тогда равенство

2. Между и находится 0, а это конечная десятичная дробь.

3.  Согласно первому случаю такая конечная десятичная дробь , что , а следовательно . ч.т.д.

Следствие: Пусть последовательность, где каждое десятичная дробь с n знаками после запятой. И пусть такие, что:

Доказательство: Пусть .

t

S

по предыдущей теореме из того, что => конечные десятичные дроби s и t, что , тогда - = , . !? (противоречит архимедовости).

Определение 1: Пусть  - десятичная дробь. Десятичным приближением числа  порядка n называется число u_n()=

Примеры:

1)=0,01234… ₁=0,0=0= u₁() ₂=0,01= u₂() ₃=0,012= u₃()

₄=0,0123= u₄() u₁()=-0,0-10^-1= -0,1

2)=a₀,a₁a₂…a_n _k=a₀,a₁a₂…a_k k-ая подходящая дробь

u₂()=₂-10^-2=-0,01-10^-2=-0,02 u₃()=₃-10^-3=-0,012-10^-3=-0,013

u₄()=₄-10^-4=-0,0123-10^-4=-0,0124 u_n()<<u_n()+10^-n

Свойство 1: R : u_n()u_n+1()

Свойство 2: ,R  1)<n : u_n()<u_n()

2) n : u_n()u_n()

53. Определение и свойство суммы и произведения действительных чисел. Поле действительных чисел и его свойства

Определение 1:Модулем действительного числа называется

Определение 2: Пусть действителные числа, их произведением называется действительное число, которое определяется следующим образом:

Теорема 1: Множество является кольцом. Умножение на согласуется с умножением на D.

Доказательство:

1. для сложения всё уже доказано 2. б. а. о.

ограничено сверху этого множества.

определено отношение неотрицательных действительных чисел

2. ассоциативность: доказательство достаточно провести для неотрицательных чисел, потому что для других чисел это следует из этого случая:

Аналогично

согласно следствию теоремы о плотности множества D в множестве

3. дистрибутивность -это равенство очевидно, если одно из чисел .

Достаточно доказать дистрибутивность для Доказательство аналогично доказательству для ассоциативности.

Теорема 2: - поле.

Доказательство: достаточно доказать, что если

Будем считать, что Тогда

ограничено сверху и оказывается, что

Теорема 3: Множество действительных чисел содержит множество рациональных чисел. Отношение «=» отношение порядка, операции умножения и сложения на множестве согласуются соответствующими операциями на множестве

Доказательство: Множество содержит множество , поэтому мн-во содержит мн-во чисел вида