
- •1.Квантовая гипотеза Планка, постоянная планка
- •2.Внешний фотоэффект
- •3.Внутренний фотоэффект
- •4.Вентильный фотоэффект
- •5. Три закона фотоэффекта
- •6.Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта
- •7. Многофотонный фотоэффект
- •8. Применение фотоэффекта
- •9. Масса и импульс фотона
- •10. Давление света
- •11. Эффект Комптона и его элементарная теория
- •12. Модели атома Томсона и Резерфорда
- •13. Линейчатый спектр атома водорода.
- •1 4.Серия Бальмера, Лаймана, Пашена, Брэкста, Пфунда, Хэмфри
- •15.Постулаты Бора
- •16.Спектр атома водорода по Бору
- •17. Что называется главным квантовым числом
- •18.Корпускулярные и волновые характеристики и их связь
- •1 9. Длина волны де Бройля
- •20. Уравнение Шредингера для стационарных состояний
- •21. Атом водорода в квантовой механике
- •22.Квантовые числа, главное квантовое число
- •23.Момент импульса
- •2 4.Магнитное квантовое число
- •26. Спин электрона. Спиновое квантовое число
- •2 7. Магнитное спиновое квантовое число
20. Уравнение Шредингера для стационарных состояний
Статистическое толкование волн де Бройля привели к выводу, что уравнением движения в квантовой механике, описывающим движение микрочастиц в различных силовых полях, должно быть уравнение, из которого бы вытекали наблюдаемые на опыте волновые свойства частиц. Основное уравнение должно быть уравнением относительно волновой функции (х, у, z, t), так как именно она, или, точнее, величина ||2, определяет вероятность пребывания частицы в момент времени t в объеме dV, т. е. в области с координатами х и x+dx, у и y+dy, z и z+dz
Taк как искомое уравнение должно учитывать волновые свойства частиц, то оно должно быть волновым уравнением, подобно уравнению, описывающему электромагнитные волны
О
сновное
уравнение нерелятивистской
квантовой механики
сформулировано в 1926 г. Э. Шредингером.
Правильность этого уравнения подтверждается
согласием с опытом получаемых с его
помощью результатов, что, в свою очередь,
придает ему характер закона природы
У
равнение
Шредингера имеет вид (217.1)
где ћ=h/(2), т—масса частицы, —оператор Лапласа
i — мнимая единица, U (х, у, z, t) — потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется, (х, у, z, t) — искомая волновая функция частицы
Уравнение (217.1) справедливо для любой частицы, движущейся с малой (по сравнению со скоростью света) скоростью, т. е. со скоростью v<<с. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной 2) производные должны быть непрерывны; 3) функция ||2 должна быть интегрируема; это условие в простейших случаях сводится к условию нормировки вероятностей (216.3)
Р
ассмотрим
свободно движущуюся частицу, которой,
согласно идее де Бройля, сопоставляется
плоская волна. Для простоты рассмотрим
одномерный случай. Уравнение плоской
волны, распространяющейся вдоль оси х
и
ли
в комплексной записи
Следовательно, плоская волна де Бройля имеет вид (217.2)
(
учтено,
что
= E/ћ,
k=p/ћ).
В квантовой механике показатель
экспоненты берут со знаком минус, но
поскольку физический смысл имеет только
||2,
то это несущественно
Т
огда
Откуда (217.3)
И
спользуя
взаимосвязь между энергией Е
и импульсом
р (E=p2/(2m))
и подставляя выражения (217.3), получим
дифференциальное уравнение
которое совпадает с уравнением (217.1) для случая U=0 (мы рассматривали свободную частицу)
Если частица движется в силовом поле, характеризуемом потенциальной энергией U, то полная энергия Е складывается из кинетической и потенциальной энергий. Проводя аналогичные рассуждения и используя взаимосвязь между Е и р (для данного случая p2/(2m)=E–U), придем к дифференциальному уравнению, совпадающему с (217.1). Уравнение (217.1) является общим уравнением Шредингера. Его также называют уравнением Шредингера, зависящим от времени
Для многих физических явлений, происходящих в микромире, уравнение (217.1) можно упростить, исключив зависимость от времени, иными словами, найти уравнение Шредингера для стационарных состояний — состояний с фиксированными значениями энергии. Это возможно, если силовое поле, в котором частица движется, стационарно, т. е. функция U=U(x, у, z) не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии
В
данном случае решение уравнения
Шредингера может быть представлено в
виде произведения двух функций, одна
из которых есть функция только координат,
другая — только времени, причем
зависимость от времени выражается
множителем , так что (217.4)
г
де
Е —
полная энергия частицы, постоянная в
случае стационарного поля. Подставляя
(217.4) в (217.1), получим
откуда после деления на общий множитель и соответствующих преобразований придем к уравнению, определяющему функцию ( 217.5)
Уравнение (217.5) называется уравнением Шредингера для стационарных состояний. В это уравнение в качестве параметра входит полная энергия Е частицы
Таким образом, реальный физический смысл имеют только такие решения, которые выражаются регулярными функциями . Но регулярные решения имеют место не при любых значениях параметра Е, а лишь при определенном их наборе, характерном для данной задачи. Эти значения энергии называются собственными. Решения же, которые соответствуют собственным значениям энергии, называются собственными функциями. Собственные значения Е могут образовывать как непрерывный, так и дискретный ряд. В первом случае говорят о непрерывном, или сплошном, спектре, во втором — о дискретном спектре