§ 1.5. Расчет резьбы на прочность

Основные виды разрушения резьб: крепежных — срез витков, ходовых — износ витков. В соответствии с этим основными критериями работоспособности и расчета для крепежных резьб являются прочность, связанная с напряжениями среза т, а для ходовых резьб—износостойкость, связанная с напряжениями смятия а_см (рис. 1.17).

33

Условия прочности резьбы по напря­жениям среза

(1.12)

т = F/(лd₁#A^_w)<[т] для винта, т = /^г/(я^/ЯА^АГ_т) ^ [т] для гайки,

где Н—высота гайки или глубина завин­чивания винта в деталь; К=аЬ/р или К=се/р — коэффициент полноты резьбы; К_т — коэффициент неравномерности на­грузки по виткам резьбы.

Для треугольной резьбы ЛТ^0,87, для прямо­угольной 0,5, для трапецеидальной ЛТ%0,65; К_т&0>6...0,1 — большие значения при ст_вв/а_вг> 1,3, где а_вв— предел прочности материала винта, а а_вг —

2-24

гайки. Это связано с тем, что увеличение относительной прочности материала винта позволяет в большей степени использовать пластические деформации в резьбе для выравнивания распределения нагрузки по виткам резьбы.

Если материалы винта и гайки одинаковы, то по напряже­ниям среза рассчитывают только резьбу винта, так как < с1.

Условие износостойкости ходовой резьбы по напряжениям смятия

СТсм = ^/(гсЛ₂А2)<[ст_см], (1.13)

где г=Н/р—число рабочих витков (например, число витков гайки).

Формула (1.13) — общая для винта и гайки. Коэффициент К_т здесь принят равным единице с учетом приработки ходовых резьб и при условии, что допускаемые напряжения принимают согласно накопленному опыту эксплуатации (см. гл. 14).

Высота гайки и глубина завинчивания. Равнопрочность резьбы и стержня винта является одним из условий назначения высоты стандартных гаек. Так, например, приняв в качестве предельных напряжений пределы текучести материала на

растяжение и сдвиг и учитывая, что т_т«0,6ст_т, запишем условия равнопрочности резьбы на срез и стержня винта

на растяжение в виде

1=Р/(п(1₁НКК_т) = 0,6а, = 0,6/у [(я/4) с1Ц

откуда при АГ=0,87 и К_тк0,6 получаем

Я» ОМ. (1.14)

Здесь /■/[(те/4) —напряжение растяжения в стержне винта,

рассчитанное приближенно по внутреннему диаметру резьбы

В соответствии с этим высоту нормальных стандартных гаек крепежных изделий принимают (см. табл. 1.5)

НъОМ (1-15)

Кроме нормальных стандартом предусмотрены высокие Нк 1,2(1 и низкие Нк 0,5</ гайки.

Так как (например, для крепежной резьбы йх, 1,2^),

то прочность резьбы при нормальных и высоких гайках превышает прочность стержня винта.

По тем же соображениям устанавливают глубину завин­чивания винтов и шпилек в детали: в стальные детали Н± = <1, в чугунные И силуминовые \,5й.

Стандартные высоты гаек (за исключением низких) и глуби­ны завинчивания исключи/ п необходимость расчета на про­чность резьбы стандартных крепежных деталей (см. табл. 1.6).

Рассмотренный пример определения высоты гайки является примером оптимизации конструкции резьбовой пары по усло­вию равнопрочности резьбы и стержня болта.

§ 1.6. Расчет на прочность стержня винта (болта) при различных случаях нагружения

Стержень виста нагружен только внешней растягивающей силой. Примером служит резьбовой участок крюка для подвешивания груза (рис. 1.18). Опасным является сечение, ослабленное резьбой. Площадь этого сечения оценивают приближенно по внутреннему диаметру с!₁ резьбы.

Условие прочности по напряжениям растяжения в стержне

(1.16)

ст = F/[(л/ 4)</?]^[а].

Допускаемые напряжения [а] здесь и далее см. табл. 1.2.

Рис. 1.19

Рис. 1.18

Болт затянут, внешняя нагрузка отсутствует. Примером служат болты для крепления ненагруженных герметичных крышек и люков корпусов машин (рис. 1.19). В этом случае стержень болта растягивается осевой силой Р_3ат, возникающей от затяжки болта, и закручивается моментом сил трения в резьбе Г_р [см. формулу (1.5), где Р равна Fз_aт].

Напряжение растяжения от силы Р_мт

35

где А — площадь стыка деталей, приходящаяся на один болт, а_см — напряжение смятия в стыке деталей, значение которого

2*

выбирают по условиям герметичности [см., также рекомендации

(1.28)].

Прочность болта определяют по эквивалентному на­пряжению

(1.18)

а_Э1( = Уо^ТЗт¹ ^ [а].

Вычисления показывают, что для стандартных метрических резьб

а_Э1[« 1,3а.

Это позволяет рассчитывать прочность болтов по упрощен­ной формуле

(1.19)

а_э,= 1,3^_т/[(я/4)</?]<[о].

Расчетами и практикой установлено, что болты с резьбой меньше М10...М12 можно разрушить при недостаточно ква­лифицированной затяжке. Например, болт с резьбой Мб разрушается при силе на ключе, равной 45 Н; болт с резьбой М12 — при силе 180 Н (см. табл. 1.6). Поэтому в среднем и тяжелом машиностроении не рекомендуют применять болты малых диаметров (меньше М8). На некоторых заводах для затяжки болтов используют специальные ключи предельного момента. Эти ключи не позволяют приложить при затяжке момет больше установленного. В таком случае отпадает необходимость ограничивать применение болтов малых диамет­ров (при условии, что ключи предельного момента применяют и в эксплуатации).

Болтовое соединение нагружено силами, сдвигающими детали в стыке. Условием надежности соединения является отсутст­вие сдвига деталей в стыке. Конструкция может быть выпол­нена в двух вариантах.

Болт поставлен с зазором (рис. 1.20). При этом внешнюю нагрузку ^ уравновешивают силами трения в стыке, которые образуются от затяжки болта. Без затяжки болтов детали могут сдвигаться на значение зазора, что недопустимо. Рас-

Рис. 1.20

сматривая равновесие детали 2, получим условие отсутствия сдвига деталей

^7ч_р = ^аі,/;

>

или

(1.20)

где і—число плоскостей стыка деталей (на рис. 1.20 / = 2; при соединении только двух деталей /=1); /—коэффициент трения в стыке (/~0,15...0,20 для сухих чугунных и стальных повер­хностей); К—коэффициент запаса (АГ= 1,3...1,5 при статической нагрузке, ЛГ=1,8...2 при переменной нагрузке).

Прочность болта оценивают по эквивалентному напряжению [формула (1.19)].

Отметим, что в соединении в котором болт поставлен с зазором, внешняя нагрузка не передается на болт. Поэтому болт рассчитывают только на статическую прочность по силе затяжки даже при переменной внешней нагрузке. Влияние переменной нагрузки учитывают путем выбора повышенных значений коэффициента запаса.

Болт поставлен без зазора (рис. 1.21). В этом случае отверстие калибруют разверткой, а диаметр стержня болта выполняют с допуском, обеспечивающим беззазорную посадку. При расчете прочности соединения не учитывают силы трения в стыке, так как затяжка болта не обязательна. В общем случае болт можно заменить штифтом. Стержень болта рассчитывают по напряжениям среза и смятия. Условие прочности по напряжениям среза

(1.21)

т = /7[(л/4) Л']«]

где /—число плоскостей среза (на рис. 1.21, а /=2; при соединении только двух деталей на рис. 1.21,6 1=1).

Рис. 1.21

Закон распределения напряжений смятия по цилиндрической поверхности контакта болта и детали (рис. 1.22) трудно установить точно. В значительной степени это зависит от точности размеров и формы деталей соединения. Поэтому

расчет на смятие произ­водят по условным на­пряжениям. Эпюру дей­ствительного распределе­ния напряжений (рис. 1.22, а) заменяют усло­вной с равномерным рас­пределением напряжений (рис. 1.22, б). При этом для средней детали (и при соединении только двух деталей)

Я/2

F=2 | а_см5₂0,5^со8ф^ф = а_см52^, о

или

(1.22)

для крайней детали

СТсм ^ [^см]?

^стс_М = ^^г/(2й?§₁)^[а_см].

Формулы (1.22) справедливы для болта и деталей. Из двух значений а_см в этих формулах расчет прочности выпол­няют по наибольшему, а допускаемое напряжение определяют по более слабому материалу болта или детали.

Сравнивая варианты установки болтов с зазором и без зазора (см. рис. 1.20 и 1.21), следует отметить, что первый вариант дешевле второго, так как не требует точных размеров болта и отверстия. Однако условия работы болта, поставлен­ного с зазором, хуже, чем без зазора. Так, например, приняв коэффициент трения в стыке деталей /«0,2, АГ= 1,5 и /=1, из формулы (1.20) получим }\_ат = 7,5/\ Следовательно, расчетная нагрузка болта с зазором в 7,5 раза превышает внешнюю нагрузку. Кроме того, вследствие нестабильности коэффициента трения и трудности контроля затяжки работа таких соединений при сдвигающей нагрузке недостаточно надежна.

В современном авиастроении получает распространение постановка болтов с высоким упругопластическим натягом. Таким способом соединяют, например, листы из дюралевого сплава Д16Т болтами из титанового сплава ВТ-16. Материал болтов существенно прочнее материала деталей. При сдвига­ющих переменных нагрузках наблюдается усталостное раз­рушение не болтов, а деталей в сечении, ослабленном от­верстиями под болты. При установке болтов с высоким натягом в зоне отверстия деталей происходят упругопластичес­кие деформации. Высокая пластичность материала деталей позволяет осуществить натяги до 2% и более от диаметра болта. Это значительно превышает все натяги стандартных посадок.

Долговечность таких соединений в несколько раз превышает долговечность соединений без натяга.

Болт затянут, внешняя нагрузка раскрывает стык деталей. Примером служат болты для крепления крышек резервуаров, нагруженных давлением р жидкости или газа (рис. 1.23). Затяжка болтов должна обес­печить герметичность соедине­ния или нераскрытые стыка под нагрузкой. Задача о распределе- ^ нии нагрузки между элементами ^ такого соединения статически не- ^ определима и решается с учетом деформаций этих элементов.

Обозначим: /’_эа1:—сила затяжки болта;/¹=Рх]г — внешняя нагруз­ка соединения, приходящаяся на один болт (г— число болтов).

После приложения внешней нагрузки к затянутому соедине­нию болт дополнительно растянется на некоторую величину А, а деформация сжатия деталей уменьшится на ту же величину.

Для простоты можно сказать, что только часть внешней нагрузки дополнительно нагружает болт, а другая часть идет на разгрузку стыка*.

Если обозначим % коэффициент внешней нагрузки (учитывает приращение нагрузки болта в долях от силы F), то допол­нительная нагрузка болта равна /7% а уменьшение затяжки стыка — (1 — х)Р- Величину коэффициента х определяют по усло­вию равенства деформаций болта и деталей, возникающих после приложения внешней нагрузки.

А = Х^б = (1-х)^л. (1-23)

где Х₆ — податливость болта, равная его удлинению при единичной нагрузке; Я,_д — суммарная податливость соединяемых деталей.

Из равенства (1.23) имеем
Х = А,д/(А,б + А,д).	(1.24)
Далее получим приращение нагрузки на болт
II Ь?	(1.25)
расчетную (суммарную) нагрузку болта
^р = ^зат + Х^	(1.26)

* Фактически вся внешняя нагрузка воспринимается болтом, но умень­шается затяжка стыка или нагрузка на болт со стороны стыка деталей. Обучающимся предлагается самим рассмотреть вариант такого решения и убедиться* что результат решения сохраняется.

^ст = ^эат-(1-Х)^

(1.27)

Анализ полученных решений и выбор затяжки соединений.

1. 

   *,С

   Рис 1.24

   Рис. 1.25

   С увеличением податливости болта Х₆ и уменьшением податливости деталей Х_я уменьшается % и приращение нагрузки болта [см. формулу (1.25)]. Эту зависимость выгодно используют на практике и особенно при переменной внешней нагрузке Т⁷. Например, при изменении внешней нагрузки Р от нуля до максимума (рис. 1.24) в суммарной нагрузке болта изменяется только составляющая (по тому же закону, что и Т⁷). Как правило, значительно меньше Х_б, поэтому значительно’ меньше Р. От переменной составляющей Р₆ зависит сопротивление болта усталости. Применение упругих болтов (рис. 1.25) является хорошей защитой от усталостного разрушения. Опасным сечением для прочности стержня является

г

(Г₆)

сечение по внутреннему диаметру резьбы с1_х [см. формулу (1.16)]. Учитывая отсутствие концентрации напряжений в не- нарезанной части стержня, ее диаметр можно выполнить меньше с1_х (рис. 1.25, а) или просверлить здесь отверстие (рис. 1.25, б). При этом болт будет равнопрочным, а его податливость увеличится.

Оптимизация конструкции болта здесь выполняется по условию равнопрочности с целью уменьшения его металлоем­кости и повышения усталостной прочности.

2. С уменьшением Р_зат при постоянной Р уменьшается ^_ст [см. формулу (1.27)]. При ^(1 —%) Р сила ^_ст становится равной нулю, в стыке появляется зазор. Образование зазора в стыке недопустимо, так как при этом нарушается плотность соединения, а при переменной нагрузке появляются удары в стыке, от которых соединение быстро разрушается.

Таким, образом, достаточная предварительная затяжка лР_зат, обеспечивающая нераскрытие стыка деталей, является

необходимым условием надежности и герметичности соеди­нения.

Условие нераскрытия стыка: ^_т>0.

Практически нераскрытое стыка зависит не только от значения затяжки Fз_aт, но и от сохранения ее в эксплуатаций. Последнее определяется следующими факторами:

качеством обработки поверхностей стыка. При большей шероховатости поверхности ее неровности постепенно сми­наются, что приводит к ослаблению затяжки. Для от­ветственных соединений поверхности стыка деталей реко­мендуют шлифовать;

числом поверхностей стыков. Чем больше поверхностей, тем хуже сохраняется затяжка (на рис. 1.23 число повер­хностей стыка равно пяти, считая поверхности под гайкой и головкой болта);

качеством поверхности и точностью резьбы. Грубая резьба сминается и уменьшает силу затяжки. В ответственных соедине­ниях рекомендуют применять гайки, увеличивающие равномер­ность распределения нагрузки по виткам резьбы (см. рис. 1.16);

надежностью способа стопорения резьбы (см. рис. 1.9... 1.12);

качеством прокладок. Упругие прокладки в стыке лучше сохраняют затяжку. (Отметим, что пружинная шайба (см. рис. 1.23) в этом смысле также выполняет роль упругой прокладки.)

В зависимости от перечисленных факторов, трудно подда­ющихся учету, а также ввиду опасности раскрытия стыка деталей целесообразно применять высокую затяжку соединений, Особенно при переменных нагрузках. Это положение подтвер­ждается практикой эксплуатации резьбовых соединений. На практике рекомендуют принимать

-^зат ⁼ К_ШТ (1.28)

где К_зат — коэффициент затяжки.

По условию нераскрытия стыка [4, 18]: при постоянной нагрузке

ЛТ_зат= 1,25...2, при переменной нагрузке ^_зат = 2,5...4.

По условию герметичности: при мягкой прокладке К_гат —1,3...2,5, при металлической фасонной прокладке ^_зат = 2...3,5, при металлической плоской прокладке К^ = 3...5.

Выбрав значение К_ЪЛТ при известных Х₆, Х_а или %, можно определить Р_р, ^ и по формулам (1.26), (1.25) и (1.27).

Определение податливости болта и деталей. В простейшем случае при болтах постоянного сечения и однородных деталях (рис. 1.26)

Х₆ = /_б/(£_бЛ); Х_а = 5_д/(£_дЛ_д), (1.29)

где Е_б и £_я, А_б и А_д — модули упругости материалов и площади сечения болта и деталей; /_б — длина болта, участвующая в деформации; 5_Я — суммарная толщина деталей; приближенно /_б~5_д.

В более сложном случае коэффициенты податливости определяют по сумме подат­ливостей отдельных участков болта (см. рис. 1.25) и отдельных деталей (см. рис. 1.23):

Рис. 1.26

ч

V

Еь \/4бі л₆₂ Л

б \^бі 8. *.1 1

(1.30)

В формуле (1.30) под расчетной площадью А_д понимают площадь только той части деталей, которая участвует в деформации от затяжки болта. Условное определение этой площади в простейшем случае изображено на рис. 1.26. Здесь полагают, что деформации от гайки и головки болта распространяются в глубь деталей по конусам с углом а = 30°, или (§а»0,5. Приравнивая объем этих конусов к объему цилиндра, находят его диаметр:

/)₁=/) + (5₁ + 6₂)/4 и Л_д = я(^1—^о_Тв)/4.

На рис. 1.27 изображено соединение, в котором внешняя нагрузка Р увеличивает деформацию не только болта, но и деталей 1 и 2 (шайба и набор тарельчатых пружин). Поэтому при расчете коэффициента внешней

нагрузки х детали / и 2 нельзя учитывать наравне с деталями 3, 4, 5, деформация которых умень­шается. В таких случаях все детали соединения принято разделять на две системы: детали системы болта, в которых под действием внешней нагрузки абсолютное значение деформаций возрастает (на рис. 1.27 болт и детали 1 и 2); детали системы корпуса, в которых абсолютное значение дефор­маций уменьшается (на рис. 1.27 детали 3, 4, 5). При этом

х^іккк+ікі)-

3 1

р_ис | 27 В соединении на рис. 1.27 набор тарельчатых

пружин существенно увеличивает податливость системы болта, а следовательно, уменьшает нагрузку на болт. В общем случае задачу о расчете Л_д и А._д приходится решать с учетом конкретных, сложных и многообразных деталей (например, литые крышки цилиндров с ребрами, пустотами и т. п.).

Для большинства практических случаев расчет податливости деталей связан с большими трудностями. Между тем расчеты и испытания конструкций показывают, что отношение А.д/(А.₆ + А._д) невелико и не превышает обычно 0,2...0,3. Поэтому для приближенных расчетов соединений без мягких прокладок принимают

(1.31)

Х = Ьд/(Ь_в+Х_яЦ(0,2...0,3).

Прочность болта при статических нагрузках. При статических нагрузках прочность болта в соединении типа рис. 1.23 оценивают по формуле

а=1,3^_р/(ї</?)<[о]. (1.32)

Здесь коэффициент 1,3 по-прежнему учитывает напряжения кручения, которые могут возникнуть при затяжке соединения под нагрузкой (как правило, это не рекомендуют).

Прочность болта при переменных нагрузках. При переменных нагрузках [см. рис. 1.24 и формулы (1.25) и (1.26)] полное напряжение в болте можно разделить на постоянное

а_я = ^_ит + (^/2 )]М_б и переменное с амплитудой

(1.33)

б*

<т_Л=(7У2 )/А.

Запас прочности по переменным напряжениям подсчитыва­ют по формуле (см. курс «Сопротивление материалов»)

5=—— (см. табл. 1.2), (1-34)

о_аК_а+*_ао_т ^к >' ^

где С-_х — предел выносливости материала болта (см. табл. 1.1): К_а—эффективный коэффициент концентрации напряжений в резьбе (определяют при испытании затянутой резьбовой пары, а не просто стержня с резьбой); \|/_о«0,1—коэффициент чувствительности к асимметрии цикла напряжений.

Значение К_а зависит от многих факторов и трудно поддается учету. Для приближенных расчетов рекомендуют [18]: АГ_С»3,5...4,5—углеродистые стали, К_а&4...5,5 — легированные стали. Большие значения относятся к резьбам (/>20 мм. Эти значения получены для метрических нарезных резьб и при простых гайках. Для накатанных резьб К_д уменьшают на 20...30%. При применении специальных гаек (см. рис. 1.16), выравнивающих распределение нагрузки по виткам резьбы, значение К_а уменьшают на 30...40%.

Запас статической прочности по текучести материала про­веряют по формуле

^ = <*т/°та* = °_Т/К, + ^СТ<.) (^СМ- ^ТабЛ’ ^]-²)- (1-35)

Практический (приближенный) расчет затянутых болтов при растягивающей внешней нагрузке. В большинстве случаев значе­ние затяжки болтов на практике не контролируют, поэтому смысл точного расчета теряется. Для приближенного расчета, учитывая рекомендации (1.31), принимают х = 0,2...0,3. При этом

/г_{б =} (0,2...0,3)/'; (1.36)

^_р = ^_ат + (0,2...0,3)^. (1.37)

Значение затяжки Р_мт выбирают по рекомендациям (1.28). Далее в зависимости от характера нагрузки используют формулы (1.32) или (1.34) и (1.35).

Прочность болтов при высоких температурах. При высоких температурах в болтовом соединении могут возникать допол­нительные температурные нагрузки. Эти нагрузки возникают в том случае, когда температурные коэффициенты линейного расширения материалов болта и соединяемых деталей не одинаковы. Температурные нагрузки подсчитывают по условию совместности деформаций, которые рассматривают в курсе «Сопротивление материалов». Температурные напряжения в бо­лтах понижают путем применения материалов с близкими температурными коэффициентами линейного расширения или постановки упругих прокладок, упругих болтов и шайб.

При температурах свыше 150" С для легких сплавов и 300° С для конструкционных сталей в затянутых соединениях становятся существенными явления релаксации и заедания. Релаксация связана с ползучестью материала при высоких температурах. Она проявляется в постепенном ослаблении затяжки соединения. При этом нарушается одно из главных условий прочности и герметично­сти соединения. Для уменьшения релаксации необходимо повышать упругую податливость деталей соединения, применять материалы с высоким пределом ползучести (например, хромистые и хромони­келевые стали [18 ]), снижать допускаемые напряжения для болтов.

После некоторого времени работы при высоких температу­рах наблюдается заедание в резьбе, которое проявляется в том, что гайку не удается отвинтить или она отвинчивается с болЦиим трудом, а резьба портится или разрушается. Для борьбы с заеданием необходимо изготовлять гайки из материа­лов, обладающих более высоким температурным коэффициен­том линейного расширения по сравнению с материалом винта (перлитный чугун, бронза, латунь, жаропрочные стали); приме­нять покрытия — омеднение или хромирование резьбы; приме­нять более крупные резьбы с зазором по среднему диаметру.