§ 8.6. Расчет прямозубых цилиндрических передач на прочность

Расчет на прочность прямозубых и косозубых цилинд­рических передач стандартизован ГОСТ 21354—87. В курсе «Детали машин» изучают основы такого расчета. При этом вводят некоторые упрощения, мало влияющие на результаты расчетов для большинства случаев практики.

Силы в зацеплении. На рис. 8.17 Р„— нормальная сила, направленная по линии зацепления как общей нормали к ра­бочим поверхностям зубьев. Силы, действующие в зацеплении, принято прикладывать в полюсе зацепления. При этом силу /•’„ переносят в полюс и раскладывают на окружную Б, и радиальную Такое разложение удобно при расчете валов и опор. По заданным Т и <1 определяют

^ = 27’₁/_</_ж1*27’₁/</₁ (8.5)

и через нее выражают все другие составляющие:

^ сс^,, Е_п /"(/соеос*,.

(8.6)

Расчет прочности зубьев по контактным напряжениям. Ис­следованиями установлено, что наименьшей контактной усталостью обладает околопо­люсная зона рабочей поверх­ности зубьев, где наблюдается однопарное зацепление (см. рис. 8.5). Поэтому расчет кон­тактных напряжений принято выполнять при контакте в по­люсе зацепления (рис. 8.18).

Контакт зубьев можно рас­сматривать как контакт двух цилиндров с радиусами Рх и р₂. При этом контактные напряжения определяют по формуле (8.2), а именно:

^<ун=0,418_>/^£'_пр/р_пр. (8.7)

Для прямозубых передач с учетом формул (8.4)...(8.6)

д = Р„К_н/Ь„ = Р,К_н/(Ь„со8а_к)=:2Т₁К_н/(с1„₁Ь_ксо5а„). (8.8)

Радиусы кривизны эвольвент зубьев в точке контакта (рис. 8.18)

Р\. — (^япа^/г, Р 2 (^2

По формуле (8.3),

(8.9)

где и = (1_к,₂/с1_к1=г2/г1, знак « + »—для наружного, а « —»—для внутреннего зацепления.

Подставляя в формулу (8.7) и заменяя сова^та*^ = (вт 2а*)/2, получаем

(8.10)

Параметр и = 2₂1г₁ по ГОСТ 16532—70 называют передаточным числом и определяют как отношение большего числа зубьев к меньшему независимо от того, как передается движение: от г₁ к г₂ или от :₂ к Это передаточное число и отличается от передаточного отношения /, которое равно отношению угловых скоростей ведущего колеса к ведомому и которое может быть мейьше или больше единицы, положительным или отрицатель­ным. Применение и вместо / связано только с принятой формой расчетных зависимостей для контактных напряжений [см. вывод формулы (8.9), где р_пр выражено через с1_х (меньшее колесо), а не через с1₂ (большее колесо)]. Значение контактных напряжений, так же как и значение передаточного числа и, не зависит от того, какое колесо ведущее, а значение передаточно­го отношения / зависит. Однозначное определение и позволяет уменьшить вероятность ошибки при расчете. Передаточное число и относится только к одной паре зубчатых колес. Его не следует применять для обозначения передаточного отношения многоступенчатых редукторов, планетарных, цепных, ременных и других передач. Там справедливо только обозначение /.

Значения расчетных контактных напряжений одинаковы для шестерни и колеса. Поэтому расчет выполняют для того из колес пары, у которого меньше допускаемое напряжение [ст_н] — см. ниже (чаще это бывает колесо, а не шестерня).

Формулу (8.10) используют для проверочного расчета, когда все необходимые размеры и другие параметры передачи известны. При проектном расчете необходимо определить размеры передачи по заданным основным характеристикам: крутящему моменту Ту или Т₂ и передаточному числу и.

С этой целью формулу (8.10) решают относительно с1_х или а. Другие неизвестные параметры оценивают приближенно или выбирают по рекомендациям на основе накопленного опыта. В нашем случае принимаем а_м;^а = 20^о(8т2а^

% 0,6428), А^_Нг«1,15 (этот коэффициент зависит от окружной скорости V, которая пока неизвестна, поэтому принято неко­торое среднее значение — см.табл. 8.3). При этом из состав­ляющих коэффициента К_н [см. формулу (8.4)] остается только К_н$. Далее обозначаем ^==6^/^—коэффициент ширины ше­стерни относительно диаметра.

Подставляя в формулу (8.10) и решая относительно с1_и находим

(8.11)

Решая относительно межосевого расстояния а, заменяем Т₁ = Т₂/и; с1₁=2а/(и±1) и вводим ^_Ьа = Ь^/а — коэффициент ширины колеса относительно межосевого расстояния.

После преобразований с учетом зависимости

фм = 0,5ф_6в(и±1)

(8.12)

(8.13)

получим

В приложении к ГОСТ 21354- 87 для стальных зубчатых колес формулы (8.11) и (8.13) записаны в виде

(8 14)

где К_л и К_а - - вспомогательные ко >ффициенты, полученные в результате выноса числового значения Е_пр из-под знака радикала, в формулах разные единицы одинаковых физических величин: Г- в Н м, сі и а-- в мм,

а_н -в МПа.

^Л‘ _ - . . _ ^ V 1 / 7

При расчетах передач с цилиндрическими зубчатыми колесами чаще используют формулу (8.13), так как габа­риты передачи определяет преимущественно межосевое рас­стояние. По тем же соображениям в формуле (8.13) мо­мент Ті заменяют на Т₂. Значение момента Т₂ на ведомом валу является одной из основных характеристик передачи, интересующих потребителя (обычно указано в техническом задании).

Для стальных прямозубых колес А^-780 (МПа)^1/3, К_а = 490 (МПа)¹'³, для косозубых А^ = 680 (МПа)¹'³, К_а = 430 (МПа)¹⁷ .

Вследствие этих операций не соблюдаются правила независимости рас­четных формул от системы единиц физических величин. Поэтому формулы (8.14) нецелесообразно применять в учебном процессе.

Расчет значений допускаемого напряжения [а_я] см. в § 8.13. Значение Кщ оценивают по рис. 8.15 в соответствии с заданной (или выбранной) схемой передачи и значением \|/_м, которое рассчитывают по формуле (8.12), где значение \|/_Ьа заранее выбирают по рекомендациям табл. 8.4. При выборе учитывают следующее. Увеличение \|/_Ьа или относительной ширины колес позволяет уменьшить габариты и массу передачи, но вместе с этим требует повышенной жесткости и точности конструкции. В противном случае возрастает неравномерность распределения нагрузки по ширине зубчатого венца. Может оказаться, что положительное влияние увеличения ширины колес не компен­сирует вредного влияния увеличения неравномерности нагрузки. Влияние различных факторов на неравномерность нагрузки рассмотрено в § 8.5.

Таблица 8.4

Редукторы при располо­жении колес относительно опор (см. рис 8 13)	Рекомендуемые значения	Твердость рабочих	поверхностей зубьев
		#2^350 НВ или Я, и #2 <350 НВ	Нх и #2 >350 НВ
Симметричное	к	0,3...0,5	0,25...0,3
	ФытЯ1	1,2...1,6	0,9...1,0
Несимметричное	■ тех «Ьа	0,25...0,4	0,2...0,25
	V,,	1,0...1,25	0,65...0,8
Консольное	1 тах 'Ььа	0,2...0,25	0,15...0,2
		0,6...0,7	0,45...0,55

Примечания. 1. Для шевронных колес при Ь„, равной сумме полушевронов, \1^ увеличивают в 1,3 1,4 раза 2. Для подвижных колес коробок скоростей \|/_Ьв = 0,1...0,2. 3 Большие значения — для постоянных и близких к ним нагрузок 4 Для многоступенчатых редукторов, в которых нагрузка увеличивается от ступени к ступени, в каждой последующей ступени значения \|/_Ьв, принимают больше на 20 . 30%, чем в предыдущей. Это способствует хорошему отношению размеров колес по ступеням (см § 8.9). Если при расчете выбирают \|/_Ьв, то расчетное значение Ь„ проверяют по максимально допускаемому значению *|/_Мтах

Расчетное значение а для нестандартных редукторов окру­гляют по ряду: /?а40: ...80; 85; 90; 95; 100; 105; 110; 120; 125; 130, далее через 10 до 260 и через 20 до 420...

Для стандартных редукторов общего применения, изготов­ляемых специализированными заводами, большое значение имеет ограничение числа типоразмеров корпусных деталей, когда в одном корпусе можно изготовить несколько редукторов с различными характеристиками. С этой целью по ГОСТ 2185 — 66 установлены основные параметры таких редукторов:

Стандартные межосевые расстояния а„.

1. й ряд—40, 50, 63, 80, 100, 125, 160, 200, 250, 315, 400, ...

2. й ряд- 140, 180, 225, 280, 355, 450, ...

Стандартные значения \|/_Ьа: 0,1; 0,125; 0,16; 0,2; 0,25; 0,315, 0,4; 0,5, 0,63; 0,8; 1,0; 1,25.

Стандартные номинальные передаточные числа и.

1. й ряд—1,0; 1,25; 1,6; 2,0; 2,5; 3,15; 4,0; 5,0; 6,3, 8,0

2. й ряд—1,12; 1,4, 1,8; 2,24; 2,8; 3,55; 4,5; 5,6; 7,1; 9,0; 11,2

Допускаемое отклонение ±4%.

Выбор модуля и числа зубьев. В формуле (8.10) модуль и число зубьев непосредственно не участвуют. Они входят в эту формулу косвенно через с1_и который определяется произведением т2_х. Из этого следует, что значение контактных напряжений о_н не зависит от модуля или числа зубьев в отдельности, а определяется только их произведением или диаметрами колес. По условиям контактной прочности при данном с1₁ модуль передачи может быть сколь угодно малым, лишь бы соблюдалось равенство т2₁=с1₁.

Минимально допускаемое значение модуля можно определить из условий прочности зубьев на изгиб по формуле (8.20). Однако при таком расчете в большинстве случаев получают зацепления с очень мелкими зубьями, применение которых практически ограничено. Поэтому значение т обычно выбирают, ориентируясь на рекомендации, выработанные практикой, и затем проверяют на изгиб. В этих рекомендациях учитывают следующее.

Мелко модульные колеса с большим числом зубьев предпоч­тительны по условиям плавности хода передачи (увеличивается е_а) и экономичности. При малых т уменьшаются потери на трение (уменьшается скольжение), сокращается расход матери­ала (уменьшается наружный диаметр с1_а = с1+2к*_ат) и экономит­ся станочное время нарезания зубьев (уменьшается объем срезаемого материала).

Крупномодульные колеса с большим объемом зубьев дольше противостоят износу, могут работать длительное время после начала выкрашивания, менее чувствительны к перегрузкам и неоднородности материала (дефекты литья и т. п.). При мелком модуле возрастают требования к точности и жесткости передачи, так как увеличивается возможность поломки зубьев вследствие концентрации нагрузки, в особенности при перегруз­ках. При ориентировочной оценке значения т можно исполь­зовать рекомендации табл. 8.5.

Таблица 8.5

Конструкция	'\іт = Ь„/т, не более
Высоконагруженные точные передачи, валы, опоры и корпуса повышенной жесткости: Я ^350 НВ	45...30
Я >350 НВ	30...20
Обычные передачи редукторного типа в отдельном корпусе с достаточно жесткими валами и опорами (и другие аналогичные): Я^350 НВ	30 .20

Продолжение табл. 8.5

Конструкция	VI/,п = К /ш, не более
Н >350 НВ	20...15
Грубые передачи, например с опорами на стальных конструк­циях (крановые и т. п.) или с плохо обработанными колесами (литые), а также открытые передачи, передачи с консольными валами (конические), подвижные колеса коробок скоростей	15...10

Примечание. Меньшие значения ф_т — для повторно-кратковременных режимов рабо­ты, значительных перегрузок и средних скоростей; большие значения ф_т - для длительных режимов работы, небольших перегрузок и высоких скоростей.

Выбрав по этой таблице х|/_т, определяют

т = Ь„№„, (8.15)

где

Ь_к = ^ы^=^_Ьаа. (8.16)

Значение т согласуют со стандартом (см. табл. 8.1). Для силовых передач обычно рекомендуют принимать 1,0 мм.

При известном модуле определяют и уточняют все оста­льные параметры передачи.

Для передач без смещения и при х_Е = 0

</₁ = 2а/(ы+1); г₁=с(₁1т; г₂ = 21Щ с1₂=тг₂, а = 0,5 (с1₂±с1₁). (8.17)

Должно быть 2₁>г_т1п, где г_т!п — по табл. 8.6.

Для уменьшения шума в быстроходных передачах рекомен­дуют брать г_х>25. Для окончательного утверждения выбран­ного значения модуля необходимо проверить прочность по напряжениям изгиба по формуле (8.19).

В случае неудовлетворительного результата изменяют т и определяют новые значения г.

При проверке можно получить а_Г значительно меньше [а_г ], что не является противоречивым или недопустимым, так как нагрузочная способность большинства передач огра­ничивается контактной прочностью, а не прочностью на изгиб. Если расчетное значение сг_г превышает допускаемое, то применяют колеса, нарезанные с положительным смещением инструмента, или увеличивают т. Это значит, что в данной передаче (при данных материалах) решающее значение имеет не контактная прочность, а прочность на изгиб. На практике такие случаи встречаются у колес с высокотвердыми зубьями при Н> 50...60 НЁ.С (например, цементированные зубья).

Расчет прочности зубьев по напряжениям изгиба. Зуб имеет сложное напряженное состояние (см. рис. 8.10). Наибольшие напряжения изгиба образуются у корня зуба в зоне перехода эвольвенты в галтель. Здесь же наблюдается концентрация напряжений. Для того чтобы по возможности просто получить основные расчетные зависимости и уяснить влияние основных

параметров на прочность зубьев, рассмот­рим вначале приближенный расчет, а затем введем поправки в виде соответствующих коэффициентов. Допустим следующее (рис. 8.19):

1. Нагрузка в зацеплении передается одной парой зубьев и приложена к вершине зуба. Практика подтверждает, что этот худший случай справедлив для 7-й, 8-й и более низких степеней точности, ошибки изготовления которых не могут гарантиро­вать наличие двухпарного зацепления. На­пример (см. рис. 8.16), ошибки шага при­водят к тому, что зубья начинают зацеп­ляться вершинами еще до выхода на линию зацепления. При этом вместо теоретического двухпарного зацепления будет однопарное.

2. Зуб рассматриваем как консольную балку, для которой справедливы гипотеза плоских сечений или методы сопротивления материалов. Фактически зуб подобен вы­ступу, у которого размеры поперечного сечения соизмеримы с размерами высоты.

Точный расчет напряжений в таких элемен­тах выполняют методами теории упругости [35]. Результаты точного расчета исполь­зуют для исправления приближенного расчета путем введения теоретического коэффициента концентрации напряжений (см. ниже).

Силу Р_п переносим по линии действия на ось симметрии зуба и раскладываем на составляющие и Р_г. При этом радиус приложения окружной силы будет несколько больше радиуса начальной окружности. Пренебрегая этой разностью, для расчета сил ^ и Р_г сохраняем формулы (8.5) и (8.6). Напряжение в опасном сечении, расположенном вблизи хорды основной окружности,

где 1¥=Ь„8²/6 — момент сопротивления сечения при изгибе; А — Ьпб — площадь; Ь.», я и / указаны на рис. 8.19.

Знак «—» в формуле указывает, что за расчетные напряже­ния принимают напряжения на растянутой стороне зуба, так как в большинстве случаев практики именно здесь возникают трещины усталостного разрушения (для стали растяжение опаснее сжатия).

Значения / и д неудобны для расчетов. Используя геомет­рическое подобие зубьев различного модуля, эти величины выражают через безразмерные коэффициенты:

Г = 1/т и ^' = 5/т,

где т — модуль зубьев.

После подстановки и введения расчетных коэффициентов получают

а_Р

где Кр—коэффициент расчетной нагрузки (см. § 8.5); К_Т теоретический коэффициент концентрации напряжений. Далее обозначают

<⁸¹⁸>

коэффициент формы зуба (для наружных зубьев; рис. 8.20).

-М -0.5

10 12 /4 16 20 25 30 40 50 60 80 100 150 200

Рис. 8.20

г или 1\г

Для колес с внутренними зубьями приближенно мож­но принимать 1^5 = 3,5...4, большие значения — при мень­ших 2.

При этом для прямозубых передач расчетную формулу записывают в виде

(8>9)

где [стр ] — допускаемое напряжение изгиба (см. § 8.13).

Для проектных расчетов по напряжениям изгиба формулу (8.19) решают относительно модуля путем замены b_w = ty_mm, F_t = 2T₁/d_l, d_x —z_xm, тогда

a_F = 2 7\ K_F Y_fs/(z j v|/_m т³).

И далее, принимая приближенно А>„= 1,5 (см. табл. 8.3), получают

m^TtKppYn/iz,^ [а,])- (8.20)

Значениями z_t и v|/_m задаются согласно рекомендациям табл. 8.5.

Из формулы (8.18) следует, что Yfs — безразмерный коэф­фициент, значения которого зависят только от формы зуба (размеры /', s', ct_w) и в том числе от формы его галтели (коэффициент К_Т). Форма зуба при одинаковом исходном контуре инструмента зависит от числа зубьев колеса z и ко­эффициента смещения инструмента х. Рассмотрим эту зави­симость.

Влияние числа зубьев на форму и прочность зубьев. На

рис. 8.21 показано изменение формы зуба в зависимости от числа зубьев колес, нарезанных без смещения с постоянным модулем. При z->c\j колесо превращается в рейку и зуб приобретает прямолинейные очер­тания. С уменьшением z уменьшается толщина зуба у основания и вершины, а также увеличивается кривизна эволь- вентного профиля. Такое изменение формы приводит к уменьшению проч­ности зуба. При дальнейшем умень­шении z появляется подрезание ножки зуба (штриховая линия на рис. 8.21), прочность зуба существенно снижается. При нарезании инст­рументом реечного типа для прямозубых передач число зубьев на границе подрезания z_min = 17.

Функциональная зависимость коэффициента формы зуба Y_fs от числа зубьев z хорошо просматривается по кривой х = 0 на рис. 8.20. Y_rs интенсивно уменьшается до zv40 и далее остается примерно постоянным.

Рассмотренное влияние числа зубьев на прочность справед­ливо при постоянном модуле, когда с увеличением z увеличива­ются и диаметры колес. При постоянных диаметрах с изменени­ем z изменяется модуль т. В этом случае изменяются не только форма, но и размеры зуба. С увеличением z форма улучшается, а размеры уменьшаются (уменьшается т). Уменьшение модуля снижает прочность зуба на изгиб [см. формулу (8.19)].

Смещение инструмента при нарезании зубьев и его влияние на форму и прочность зубьев. На рис. 8.22 изображено два положения инструмента (рейки) при нарезании зубьев: 1 —

делительная плоскость рейки (ДП) со­впадает с начальной плоскостью (НП) — нарезание без смещения; 2—инструмен­ту дано положительное смещение хт. При этом основной с1_ь и делительный с/ диаметры колеса не изменяются, так как не изменяется г (НП по-прежнему обкатывается по с1, а ДП смещена на хт). Как видно из чертежа, смещение инструмента вызвало значительное из­менение формы зуба. Толщина зуба у основания увеличилась, увеличилась и прочность зуба по напряжениям изгиба. Одновременно с этим заострилась головка зуба. Заострение является одной из причин, ограничивающих значение смещения инструмента. Отрицательное смещение инструмента сопровождается явле­ниями обратного характера.

Применяют два типа передач со смещением:

1. Шестерню изготовляют с положительным смещением (х!>0), колесо — с отрицательным (лг₂<0), но так, что | лг11 = | лг₂ I или х₁ = л:₁+д:2 = 0.

При любом смещении сумма ширины впадины и тол­щины зуба по делительной окружности равна шагу р. Одинаковые по значению, но разные по знаку смещения вызывают одинаковые увеличения толщины зуба шестерни и ширины впадины колеса. Поэтому в зацеплении зуб­чатой пары при лг_х = 0 делительные окружности соприкаса­ются и являются начальными, как в передаче без смещения. Не изменяются также межосевое расстояние а„ и угол зацепления а_к:

а„ = а = 0,5(с1₁+с1₂); а_и, = а = 20°.

Изменяется только соотношение высот головок и ножек зубьев.

2. Суммарное смещение х_ъ не равно нулю. Обычно х_£>0, а также х_х>0 и х₂>0. При положительных х₁ и х₂ де­лительная толщина зубьев шестерен и колеса больш р!2. Поэтому делительные окружности не могут соприкасаться. Начальными становятся новые окружности, большие, чем делительные (й^н,!>^, <Л_к2>й₂', см. рис. 8.4). Межосевое рас­стояние увеличивается:

йу! = 0,5 (^ 1 ■+■ (1^₂) > а = 0,5 (<^ ■+■ (1₂ )•

При этом увеличивается и угол наклона линии зацепления как общей касательной к основным окружностям, т. е. уве­личивается угол зацепления: а_и,>а = 20°. Увеличение

а_и, сопровождается уменьшением коэффициента перекрытия е_а, что является отрицательным и служит одной из причин, ограничивающих применение больших смещений.

Нарезание со смещением позволяет во многих случаях повысить качество зубчатого зацепления. Применяя смещение, необходимо помнить:

1. Положительное смещение повышает прочность зубьев на изгиб и устраняет подрезание при малом числе зубьев (понижает г_т1п). Например (см. рис. 8.20), при 2 = 25 увеличение х от нуля до +0,8 уменьшает в 1,2 раза. Соответственно уменьшаются и напряжения изгиба [см. формулу (8.19)]. В соответствии с габл. 8.6 можно понизить 2_т!п от 17 до 8.

2. Увеличение а_и, при х_Е>0 повышает контактную прочность [см. формулу (8.10)]. Можно увеличить <х„ до 25° и поднять допускаемую нагрузку приблизительно на 20%.

3. При большом числе зубьев у шестерни и колеса смещение малоэффективно, так как форма зуба даже при значительных смещениях почти не изменяется. (У зубчатой рейки, которая подобна колесу при 2 = со, смещение совершенно не изменяет форму зуба.)

Передачи со смещением при х_х = 0 применяют при больших и и малых г₁. В этих условиях смещения лг^О и дг₂<0 выравнивают форму зубьев шестерни и колеса и приближают их к равнопрочноети по изгибу.

Смещения при х_Хт^0 могут влиять на большее число параметров зацепления. Рекомендации по выбору коэффициен­тов смещения даны в ГОСТ 16532—70. Некоторые из этих

рекомендаций		приведены	в табл. 8.6. Таблица 8.6
Коэффициент смещения			Передачи
шестер­ни Хг	колеса *2	прямозубые	косозубые и шевронные
0	0	Zi ^21	М ^ ^гпт 2
0,3	-0,3	14^z! <20 и м^3,5	21^*!шп + 2, но не менее 10 и 3,5. Рекомендация не распространяется на переда­чи, у которых при твердости колеса <320 НВ твердость шестерни превышает не более чем на 70 НВ
0,5	0,5	10 <zt< <30

* (Граничение по подрезанию ß, град до 12 св 12 до 17 св 17 до 21 св 21 до 24 св 24 до 28

17 16 15 14 13