3.3 Линейная модель парной регрессии. Метод наименьших квадратов (мнк). Свойство оценок мнк.

Линейная регрессия находит широкое применение в эконометрике в виде чёткой экономической интерпретации её параметров.

Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида (1) или (2). Уравнение (1) позволяет по заданным значениям фактора х иметь теоретические значения результативного признака, подставляя в него фактические значения фактора х. Уравнение (2) рассматривает у как зависимую переменную, состоящую из двух составляющих:

1) неслучайную составляющую , где выступает как объясняющая (независимая) переменная, а и - параметры уравнения;

2) случайного члена - (возмущение)

Если , то получатся точки .

Если , то получим точки ; .

Случайный член существует по ряду причин:

1) включение не всех объясняющих переменных (есть ещё другие факторы, влияющие на у), но измерить их невозможно (например, психологические);

2) агрегирование переменных (объединение некоторого числа микроэкономического соотношения);

3) неправильное описание структуры модели (временные ряды зависят не только от t, но и от t-1);

4) неправильная функциональная спецификация (не линейная, а какая-то другая);

5) ошибки измерения.

ε_i есть сумма всех этих факторов.

Рассмотрим задачу определения параметров модели, то есть коэффициентов и - оценке параметров модели.

Оценки параметров линейной регрессии могут быть найдены разными методами, например можно построить поле корреляции, взять 2 точки и провести через них прямую.

оценка параметра , то есть отрезок отсекаемой прямой на оси ;

, - угловой коэффициент прямой,

- оценка параметра .

Необходимо с самого начала признать, что мы не сможем рассчитать истинные значения и . Мы можем получить только оценки, и они могут быть или хорошими или плохими. Построение линии регрессии на глаз является достаточно субъективным.

Отрезок ε₁ (остаток), ε₂. Остатки должны быть min. .

Существует целый ряд критериев:

1. МНК минимизация суммы квадратов отклонений.

2. Минимизируется сумма модулей отклонений.

3. Функция Хубера , где - «мера» с которой отклонение входит в функционал.

Рассмотрим достоинства и недостатки перечисленных функционалов.

1) сумма квадратов отклонений:

«+» лёгкость вычисления, хорошие статистические свойства, простота математических выводов делают возможным построить развитую теорию, позволяющую провести тщательную проверку различных статистических гипотез;

«-» чувствительность к выбросам;

2) сумма модулей отклонений:

«+» робастость, то есть нечувствительность к выбросам;

«-» сложность вычислительной процедуры, большим отклонениям надо придавать больший вес (лучше 2 отклонения по 1, чем одно 0 и 2), неоднозначность, то есть разным значениям параметра могут соответствовать одинаковые суммы модулей отклонений.

Функция Хубера является попыткой совместить достоинства двух первых функционалов.

Рассмотрим МНК:

Из множества линий регрессии на графике выбирается та, сумма квадратов отклонений была минимальной.

Чтобы найти минимум надо взять частные производные по и функции S и приравнять их нулю.

Получим систему нормальных уравнений для оценки параметров a и b (3):

(3)

Решая систему (3) любым методом: исключение, Крамера (через определители), найдем оценки параметров a и b. МНК даёт самые точные несмещённые и эффективные оценки и .

Можно воспользоваться формулами для определения параметров:

;

- ковариация признаков;

- дисперсия признака х.

Параметр b называется коэффициентом регрессии. Его величина показывает среднее изменение результата (у) с изменением фактора х на одну единицу. Зависимость между расходами на питание (у) и располагаемым личным доходом (х) за период 1959 по 1983 г. В США описывается уравнением регрессии.

, х увеличился на 1 единицу, а у на 0,093ед.

Если Х увеличился на 1 млрд $, то у (расходы на питание) возрастут на 93 млн $ (т. е. из 1 $ дохода 9,3 цента – на питание).

Параметр а, . Уравнение регрессии теряет смысл, «а» - не имеет экономического содержания. Интерпретировать можно только знак при параметре а. - относительное изменение параметра у, происходит медленнее, чем изменение фактора или вариации результата.

Коэффициенты вариации ; ;

Если , то ;

Если , то

Возможность чёткой экономической интерпретации коэффициента регрессии сделала линейное уравнение регрессии достаточно распространенным в экономических исследованиях.