Глава 5. Нелинейные модели регрессии. 102

5.1. Нелинейные модели регрессии и их линеаризация. 102

5.2. Оценка степени тесноты связи между количественными переменными. 105

5.3. Индекс корреляции, теоретическое корреляционное отношение. Коэффициент детерминации для нелинейных моделей. 108

5.4. Применение МНК для нелинейных моделей. 111

1. Предмет и задачи курса.

Эконометрия – это искусство предвидения экономических нормативов, прогнозов и гипотез.

Деятельность в любой области экономики (управлении, финансово-кредитной сфере, маркетинге, учете и аудите) требует от специалистов применения современных методов работы, знания достижений мировой экономической мысли, понимание научного языка.

Большинство новых методов основано на эконометрических моделях, концепциях, приёмах. Без глубоких знаний эконометрики научиться их использовать невозможно. Чтение современной литературы также предполагает хорошую эконометрическую подготовку.

Специфической особенностью деятельности экономиста является работа в условиях недостатка информации и неполноты исходных данных. Анализ такой информации требует знания специальных методов, которые составляют один из аспектов эконометрики. Центральной проблемой эконометрики является построение экономической модели и определение возможностей её использования для описания, анализа и прогнозирования реальных экономических процессов.

Известный экономист Цви Гриллихес (1929–1999г.) писал: «эконометрика является одновременно нашим телескопом и нашим микроскопом для изучения окружающего экономического мира». В этом случае можно говорить о микро- и макро-эконометрике.

Свидетельством всемирного признания эконометрики является присуждение пяти Нобелевских премий по экономике за разработку в этой области:

1969г. - Р. Фришу и Я. Тинбергену за разработку математических методов анализа экономических процессов;

1980г. - Л. Клейну за создание эконометрических моделей и их применение к анализу экономических колебаний и экономической политики;

1989г.- Т. Хаавельмо за пояснение вероятностных основ эконометрики;

2000г.- Дж. Хекману за развитие теории и методов анализа селективных выборок и Д. Макфаддену за развитие теории и методов анализа моделей дискретных выборок.

2003г.- Р.Ингелу и К.Грэнджеру за анализ экономических временных рядов (ARCH) с общими трендами.

Процесс перехода экономического высшего образования в России на мировые стандарты характеризуется введением в учебные планы курсов микро- и макроэкономики, а также эконометрики.

1.1 Определение эконометрики. Взаимосвязь с другими науками. Эконометрика и экономическая теория. Эконометрика и статистика. Эконометрика и экономико-математические методы.

Термин «эконометрика» имеет в своей основе два слова: «экономика» и «метрика» (от греческого. metron – мера ). Т.о. сам термин подчеркивает специфику эконометрики как науки: количественное выражение тех связей и соотношений, которые раскрыты и обоснованы экономической теорией. В общем случае эконометрику можно определить как науку об экономических измерениях и анализе экономических явлений и их взаимосвязей.

Эконометрика – это наука, которая на основе статистических данных количественно характеризует взаимозависимые экономические явления и процессы.

Предмет исследования эконометрики - это массовые экономические процессы и явления. Предметы исследования эконометрики и статистики очень схожи, тем более что большинство эконометрических методов изучения социально-экономических закономерностей позаимствованы из статистики. Однако спе­циально для эконометрики были разработаны не­которые дополнения методов, которые не при­меняются в статистике.

Цель эконометрики — это количественная характеристика экономических закономерностей, выявляемых экономической теорией в об­щих чертах.

Эконометрика как наука является следстви­ем междисциплинарного подхода к изучению экономики. На современном этапе своего раз­вития эконометрика представляет собой сочетание трех наук:

1) экономической теории;

2) математики (теории вероятностей);

3) математической статистики.

Помимо вышеназванных дисциплин, одним из основных факторов развития эконометрики является развитие компьютерных технологий и специализированных пакетов прикладных прог­рамм. Следовательно, эконометрика с помощью статистических и математических методов ана­лизирует экономические закономерности, до­казанные экономической теорией.

Задачи, решаемые с помощью эконометри­ки, классифицируются по трем признакам:

1) по конечным прикладным целям:

а) задачи прогноза социально-экономиче­ских показателей, характеризующих состоя­ние и развитие изучаемой системы;

б) задачи моделирования возможных ва­риантов социально-экономического разви­тия системы для определения параметров, которые оказывают наиболее сильное влия­ние на состояние системы в целом;

2) по уровню иерархии:

а) задачи макроуровня (уровень страны в целом);

б) задачи мезоуровня (уровень отраслей, регионов);

в) задачи микроуровня (уровень фирмы, семьи, предприятия);

3) по области решения проблем изучаемой эко­номической системы:

а) задачи изучения рынка;

б) задачи изучения инвестиционной, социаль­ной, финансовой политики;

в) задачи изучения ценообразования;

г) задачи изучения распределительных от­ношений;

д) задачи изучения спроса и потребления;

е) задачи изучения отдельно выделенного комплекса проблем.

Решение перечисленных задач эконометри­ки осуществляется с использованием математических моделей, построенных на основе эмпирических данных.

Чем собственно занимается эконометрист?

Давайте представим себе океанский лайнер водоизмещением 58000т. Корабль построен 30 лет назад, на нём есть залы отдыха, рестораны, бары, кинотеатр, конференц-зал, библиотека, ночной клуб, художественная галерея и торговый центр.

Вопрос: Сколько лет капитану?

Мы не в состоянии ответить на этот вопрос, поскольку доступная нам информация не содержит никакого упоминания о возрасте капитана. Это не совсем так. Лайнер водоизмещением 58000 – очень большой корабль. На его капитане лежит огромная ответственность. И только человек с большим опытом в состоянии справиться с этой работой. В то же время капитан должен обладать хорошей физической формой и быть способным справляться со стрессовыми ситуациями. Здравый смысл подсказывает, что возраст капитана между 40 и 60 годами. Эконометрист, который хочет выглядеть наукообразно, сказал бы, что его оценка возраста капитана равна 50 со стандартным отклонением 5.

Это хороший пример эконометриста за работой. Он показывает, что доступная нам информация обычно недостаточна для решения задачи, и требуются также здравый смысл и знание жизни, а решение , (отклонение) сформулировано в вероятностных терминах без достаточных на то статистических оснований.

Реальные примеры из экономики всегда труднее. Большинство эконометристов полагают, что главная цель прикладной эконометрики - сопоставление экономических теорий с наблюдаемыми явлениями. Это включает в себя проверку гипотез, например, теории монетаризма или рационального поведения потребителя. Задача эконометриста (в идеале) было бы проверить, верна ли данная экономическая теория или нет, основываясь на экономических данных и статистическом аппарате. Никто не скажет, что это легко.

Индивидуумы, семьи, фирмы ведут себя так иррационально и их групповое поведение настолько мало предсказуемо, что трудно предположить существование какого-либо закона, претендующего на универсальность. Это сильное утверждение, но оно верно.

Давайте обсудим последствия одного универсального закона. Это знаменитый пример, взятый из жизни, показывает, как один верный закон может быть использован для открытия другого.

Наблюдая спутники Юпитера, астрономы заметили, что иногда они на 8 минут впереди, а иногда на 8 минут отстают от времени, рассчитанного по законам Ньютона. Причем замечено, что спутники опережают расчетное время, когда Юпитер ближе к Земле, и отстают, когда Юпитер удалён. Если мы доверяем теории Ньютона, то должны заключить отсюда, что свет имеет конечную скорость, и то положение спутников, которое мы наблюдаем, является вовсе не их текущим положением, а тем, в котором они находились некоторое время назад, необходимое, чтобы свет дошел от Юпитера до Земли. Олаф Ремер таким образом в 1675 году показал, что свет имеет конечную скорость, и годом позже привёл оценку скорости света 214 000 км/с (ошибся на 30%).

Ничего подобного этой строгой красоте невозможно в эконометрике. Люди, фирмы, организации, их взаимодействие на различных уровнях агрегирования настолько богаче и интереснее планет, что неизбежно являются гораздо более сложными объектами для моделирования и прогноза.

Данные в эконометрике никогда не являются экспериментальными. Не правда, было бы хорошо удвоить цены на сахар, оставив все остальные неизменными и посмотреть на реакцию покупателя. Вероятно, это и было возможно в Советском Союзе, но определенно невозможно в современной России, и, следовательно, эконометрист не может ставить подобные эксперименты.

Все параметры изменяются одновременно. Данные, с которыми должны работать, не являются результатом контролируемого эксперимента. Они не экспериментальные.

В физике, химии, биологии и т. д. можно проводить контролируемые эксперименты, но только не в эконометрике. (Астрономические данные тоже не являются экспериментальными. Мы не можем, например, изменить орбиту Марса, чтобы посмотреть, как это повлияет на орбиту Земли.)

Отсюда новые трудности. Традиционные методы математической статистики – теория оценивания и проверки гипотез были развиты для экспериментальных наук, но не для эконометрики. Поэтому эти методы, не могут быть без какой-либо модификации применены в эконометрике. В математической статистике проверка гипотезы и оценивание её не являются двумя разными темами. Прикладной статистик либо проверяет гипотезу, либо оценивает некоторые параметры, но никогда не делает то и другое одновременно. Эконометрист напротив, должен всё делать одновременно. Поэтому необходима новая теория статистического вывода, которая позволяла бы это делать, но такой теории до сих пор нет.

Теория и практика. Разрыв между ними в эконометрике больше, чем в других науках.

Известная история среди эконометристов иллюстрирует этот разрыв.

Ночь. Некто А идет по улице и видит другого человека Б, что-то ищущего под уличным фонарём. Что вы ищите? – спросил А. «Я потерял ключи», - ответил Б. «Где вы их потеряли?» - снова спросил А. «Там», - ответил Б, указывая на 30 метров в сторону.

«Тогда почему же вы их ищете здесь?» - спрашивает А, являясь человеком практического склада ума. «Там слишком темно», - отвечает Б и продолжает свои поиски под уличным фонарём.

Эконометрический подход к изучению и анализу социально-экономических объектов (явлений, процессов, систем) предполагает построение модели изучаемого объекта. Это является ключевым момен­том при использовании эконометрического подхода. В эконометрике модель относится к классу математических моделей.

Под математической моделью понимают приближенное описание объ­екта (процесса, явления, системы) на языке математики.

Язык математики (математический аппарат, инструментарий) вклю­чает такие средства описания, как таблицы, графики, алгебраические и логические соотношения, неравенства, дифференциальные или разно­стные уравнения, теоретико-множественное описание и т. п. и т. д.

Необходимость построения и использования математических моде­лей обусловлена следующими важными обстоятельствами.

1. Процесс построения математической модели позволяет система­тизировать сложные, взаимосвязанные факторы, выделить существенные и не существенные для изучаемого процесса связи и параметры.

2. Математическое описание позволяет каждому фактору поставить в соответствие математический символ (переменную) и устано­вить взаимосвязь и взаимовлияние одних переменных на другие.

3. Математическая модель, в отличие от вербальной (словесной), дает возможность описать процесс компактно, в виде набора ма­тематических соотношений, абстрагируясь при этом от несуще­ственных деталей, и установить строгие правила поведения пере­менных, характеризующих процесс.

4. При построении математической модели упорядочивается ин­формация, определяется ее ценность и необходимый объем.

5. Математическая модель закладывает основу для количественного анализа поведения объекта путем проведения численного (имита­ционного) эксперимента, что позволяет выявить возможные аль­тернативные сценарии поведения объекта и количественно оце­нить последствия, к которым приведет их реализация. Это особен­но важно при изучении систем, для которых невозможен натурный эксперимент. К таким системам относятся и социально-экономи­ческие системы и процессы. При этом во много раз увеличивается число сценариев, которые удается проанализировать.

6. Математическая модель дает возможность качественно исследо­вать поведение изучаемого объекта. Другими словами, построив математическую модель, се можно изучать в соответствии с пра­вилами математики, абстрагируясь от реального объекта. Это часто позволяет получить новые, нетривиальные знания о самом моделируемом объекте.

7. Математическое моделирование позволяет выявить и оценить влияние скрытых (латентных) факторов.

8. Построение математической модели является основой для эф­фективного применения современных информационных техно­логий. Потребность в их применении обусловлена сложностью используемых математических моделей, необходимостью сбора и обработки больших массивов данных, сложностью вычисли­тельных процедур.

Процесс построения математической модели включает несколько основных этапов, которые перечисляются ниже.

1. Определение цели исследования, качественный анализ и изуче­ние экономического объекта (предметной области), установле­ние общих закономерностей его функционирования, формулировка правдоподобных гипотез и предположений (упрощающих допущений) относительно характера взаимодействия различных элементов объекта и т. д.

2. Анализ и оценка качества имеющихся эмпирических данных. Изучение возможностей получения дополнительной информа­ции и, если необходимо, ее сбор.

3. Построение математической модели с привлечением математи­ческого аппарата, позволяющего адекватно описать поведение объекта.

4. Оценка параметров модели (идентификация) на основе имею­щихся статистических данных. Проверка адекватности модели (ее соответствия данным).

5. Формальный анализ математической модели, исследование ее свойств с целью изучения поведения объекта на качественном уровне.

6. Проведение численных расчетов (экспериментов) и получение количественных результатов.

7. Анализ полученных результатов и их содержательная (экономи­ческая) интерпретация. Выработка рекомендаций для принятия решений.

Современная математика предоставляет богатый арсенал средств для построения математических моделей в естественных науках, технике, экономике и других гуманитарных науках, подкрепленный возможно­стями современных автоматизированных информационных технологий.