5.2. Оценка степени тесноты связи между количественными переменными.

Среди нелинейных функций, которые могут быть приведены к линейному виду, степенная функция , связано это с тем, что параметр b имеет чёткое экономическое истолкование, то есть он является коэффициентом эластичности.

Это значит, что b показывает, на сколько % изменится в среднем результат, если фактор изменится на 1%. Рассмотрим пример

Зависимость спроса от цен, с увеличением цен на 1% спрос снижается на 1,12%.

- первая производная, характеризующая соотношение приростов результата и фактора для соответствующей формы связи.

Для степенной функции .

Коэффициент эластичности можно определить и для других форм связи, то только для степеней функции он представляет собой постоянную величину = b.

Для .

В силу того, что коэффициент эластичности для линейной функции не является величиной постоянной, а зависит от соответствующего значения х, то рассчитываем средний показатель эластичности:

.

Для оценки применяется МНК

к уравнению

b – определяется из системы, а «а» - косвенным путем, после потенцирования величины ln a.

Например,

Поскольку а – экономически не интерпретируется, то нередко зависимость остаётся в виде логарифмически линейной. В виде степенной функции изучаем не только спрос, но и предложение.

Обычно эластичность спроса: b<0, а эластичность предложения: b>0.

Несмотря на широкое использование в эконометрике коэффициентов эластичности, возможны случаи, когда их расчёт экономического смысла не имеет. Например, тогда, когда для рассматриваемых признаков бессмысленно определение изменения значений в %. Вряд ли кто будет определять на сколько % может измениться зарплата с ростом стажа работы на 1%. Или на сколько % изменится урожайность пшеницы, если качество почвы измеряемое в баллах, изменится на 1%.

Изучая соотношение ставок межбанковского кредита (у) в % и срока его предоставления в днях (х), получено УР.

Э=0,352% лишён смысла ибо срок предоставления не изменяется в %.

При использовании для этой же задачи линейной зависимости

b=0,403 в % показывает изменение ставок кредита с увеличением срока их предоставления на 1 день.

Практическое применение экспоненты возможно, если результативный признак не имеет отрицательных значений. Поэтому, если исследуется, например, финансовый результат деятельности предприятий, среди которых наряду с прибыльными есть и убыточные, то данная функция не может быть использована.

Табл. Коэффициенты эластичности для ряда математических функций.

Вид функции, у	Первая производная,	Коэффициент эластичности,
Линейная	b
Парабола второго порядка	b+2cx
Гипербола
Показательная
Степенная
Полулогарифмическая
Логистическая
Обратная

При исследовании взаимосвязей среди функций использующих ln y, в эконометрике преобладают степенные зависимости – это и кривые спроса и предложения, а также кривые Энгеля и производственные функции, и кривые освоения для характеристики связи между трудоёмкостью продукции и масштабами производства в период освоения нового вида изделий, и зависимость валового национального дохода от уровня занятости.

В отдельных случаях может использоваться и нелинейная модель , так называемая обратная модель, является разновидностью гиперболы.

внутренне нелинейна МНК для обратных величин.

МНК:

Данное уравнение отражает обратную связь рассмотренных признаков, линейно относительно . имеет экономический смысл, b - интерпретируется как для линейной зависимости средний прирост.

Уравнение вида характеризует прямую зависимость результативного признака от фактора. Оно целесообразно при медленном повышении уровней результативного признака с ростом значений фактора. Возможно: 1) логарифмирование

2) преобразование в обратные величины

Функция насыщения. Используется для анализа стат.данных о бюджетах потребителей и др.

Для показательной функции , доверительный интервал для параметра b:

- строят доверительные интервалы.

, для и , а далее с помощью обратного преобразования доверительные преобразования для а и b.

Для степенной строится как в линейной.