Глава 5. Нелинейные модели регрессии.

5.1. Нелинейные модели регрессии и их линеаризация.

I класс: регрессии, нелинейные относительно включённых параметров, но линейные по оцениваемым параметрам.

1) или полиномы различных степеней;

2) равносторонняя гипербола ; ; .

II класс: регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

1. степенная

2. показательная

3. экспоненциальная

Нелинейная регрессия по включённым переменным определяется как в ЛР методом наименьших квадратов (МНК), ибо эти функции линейны по параметрам. Так в параболе второй степени

,заменим , получим двухфакторное уравнение линейной регрессии

Для уравнения третьего порядка

получим трехфакторную модель ЛР.

.

Для полинома к-го порядка

, получим линейную модель множественной регрессии с k объясняющими переменными

.

Следовательно, полином любого порядка сводится к линейной регрессии с её методами оценивания параметров и проверки гипотез. Как показывает опыт, чаще используется парабола второй степени, редко – полином третьего порядка. Ограничения в использовании полиномов более высокой степени связаны с требованием однородности исследуемой совокупности, чем выше порядок полинома, тем больше изгибов имеет кривая и соответственно, менее однородна совокупность по результативному признаку.

Парабола второй степени целесообразна, если для определенного интервала значений фактора меняется характер связи рассмотренных признаков: прямая связь меняется на обратную или обратная на прямую. В этом случае определяется значение фактора, при котором достигается максимальное (или минимальное) значение результативного признака: приравниваем нулю первую производную

, , , .

Зная же исходные данные не обнаруживают изменения направленности связи, то параметры параболы второго порядка становятся трудно интерпретированными, а форма связи часто заменяется другими нелинейными моделями.

МНК для параболы:

Решение методом Крамера:

,

где - главный определитель системы,

частные определители.

При b > 0 и c < 0 кривая симметрична относительно высшей точки, то есть мочки перелома кривой. В экономике, зависимость зарплаты работников физического труда от возраста – с увеличением возраста повышается зарплата ввиду повышения опыта и квалификации работника. Однако с определённого возраста ввиду старения организма и снижения производительности труда может приводить к снижению заработной платы.

Равносторонняя гипербола для УР . Используется для характеристики связи удельных расходов сырья, материалов, топлива с объёмом выпускаемой продукции, времени обращения товаров от величины товарооборота, то есть на микро- и макроуровнях. Классическим примером её является кривая Филипса, характеризующая нелинейное соотношение между нормой безработицы x и % прироста зарплаты у. .

Английский экономист Филипс А. В., анализируя данные более чем за 100-летний период, в конце 50-х годов ХХ века установил обратную зависимость % прироста зарплаты от уровня безработицы.

.

МНК:

При b ≠ 0 имеем обратную зависимость, которая при характеризуется нижней асимптотой, то есть минимальным предельным значением у, оценкой которого служит параметр а. Для уравнения Филипса величина параметра а, равная 0,00679, означает, что с ростом уровня безработицы темп прироста зарплаты стремится к 0. Соответственно, можно определить тот уровень безработицы, при котором зарплата оказывается стабильной и темп прироста её равен 0.

При c < 0 имеем медленно повышающуюся функцию с верхней асимптотой при , то есть с максимально предельным уровнем у, оценку которой даёт параметр а.

Например, взаимосвязь доли расходов на товары длительного пользования и общих сумм расходов (или доходов) – называются кривыми Энгеля (нем. ст. 1857). Э. Энгель сформулировал закономерность – с ростом дохода доля доходов, расходуемых на продовольствие, уменьшается, а доля доходов, расходуемых на непродовольственные товары, будет возрастать. Однако, это увеличение не .

у – доля расхода на непродовольственные товары;

х – доходы (или общая сумма расходов как индикатор дохода)

Равносторонняя гипербола не единственная возможная функция для описания кривой Энгеля, можно использовать полулогарифмическую кривую . Заменив , получим .

МНК:

Ещё возможно к I классу отнести .

МНК:

Уравнение с квадратными корнями используется в исследованиях урожайности, трудоёмкости сельскохозяйственного производства.

Если нет каких-либо теоретических обоснований в использовании данного вида кривых, то основная цель подобных преобразований состоит в том, чтобы для преобразованных переменных получить более простую модель регрессии, чем для исходных данных.

Класс II нелинейных уравнений по оцениваемым параметрам разделим на 2: внутренние линейные и внутренние нелинейные модели.

Если нелинейная модель внутренне линейна, то она с помощью специальных преобразований приводится к линейному виду.

Если же модель внутренне нелинейна, то она не может быть сведена к линейной функции.

При изучении эластичности спроса от цен используется степенная функция , где у – спрашиваемое количество, х – цена.

Данная модель нелинейна относительно оцениваемых параметров, ибо включает параметры а и b неаддитивны. Однако, её можно считать внутренне линейной, ибо логарифмирование данного уравнения по е приводит к линейному виду: оценка по МНК.

Если же внутренне нелинейна.

Внутренне нелинейны будут модели:

или

Они не могут быть преобразованы в линейные.