29.Иілу нүктесінде орындалатын қажетті шарт.

Теорема.Иілу нүктесінде функциясының екінші ретті туындысы 0 ге тең.

Дәлелдеуі. Айталық f (х) функциясының х=0 нүктесінде екінші туындысы бар болсын, ал y(x)=f ( ) f´( )(x )

f (x) функциясының графигіне ( нүктесінде жүргізілген жанама болсын. Онда Тейлор формуласы бойынша

f (x) (x ) )),x

Бұдан, егер fˮ(x) деп ұйғарсақ, онда f(x) айырмасының нүктесінің белгілі бір маңайындағы таңбасы fˮ( ) санының таңбасы мен бірдей болатынын көреміз, яғни f(x) айырымы нүктесінде таңбасын өзгертпейді, сондықтан бұл нүктесі емес. Бұдан, егер иілу нүктесі болса, онда f ˮ( )=0 болуы қажетті.

30) Иілу нүктесінің бар болуының жоғарғы туынды арқылы берілген жеткілікті шарты.

Теорема. Егер х₀ нүктесінің маңайында f функциясының n+1 ретті туындылары бар әрі х₀ нүктесінде ол туындылар үзіліссіз және f’’(х₀)=f’’’(х₀)=…=fⁿ (х₀)=0, f⁽ⁿ⁺¹⁾( х₀) (1)

Болса, онда n+1 тақ болғанда (х₀, f(х₀))-иілу нүктесі.

Дәлелдеуі. f’’(х₀)=f’’’(х₀)=…=fⁿ (х₀)=0, f⁽ⁿ⁺¹⁾( х₀) шарттардың орындалуында Тейлор формуласы f(x)=f(х₀)+f ‘(х₀)(x- х₀)+ )(x- х₀)⁽ⁿ⁺¹⁾+0((x- х₀)⁽ⁿ⁺¹⁾),x х₀

түрінде жазылады.Ал y(x)= f(х₀)+f ‘(х₀)(x- х₀) болғандықтан

f(x)- y(x)= )(x- х₀)⁽ⁿ⁺¹⁾+0((x- х₀)⁽ⁿ⁺¹⁾),x х₀

Мұнан n+1 тақ болғандықтан x- х₀ таңбасын өзгерткенде f(x)- y(x) айырымы да таңбасын өзгертетінін көреміз. Бұл х₀ нүктесінің иілу нүктесі екенін көрсетеді. Теорема дәлелденді. 6-сұрақ.Бірсарынды тізбек шегінің бар болуының Вейерштрасс критерийі.1-теорема(Вейерштрасс критерийі).Кемімейтін тізбектің шегінің бар болуы үшін оның жоғарыдан шектеулі ,ал өспейтін тізбектің шегінің бар болуы үшін оның төменнен шектеулі болуы қажетті және жеткілікті.

Дәлелдеуі.Қажеттілік.Тізбек жинақты болса , оның шектеулі болатынын тізбектің жалпы қасиеттерін дәлелдегеніміздей дәлелдейік :Айталық = a болсын.Онда Ԑ> 0 N n> (|x_n- a|<Ԑ).

Демек , n.>N(|x_n|<|a|+Ԑ). Егер M үшін M>max{|x₁|,|x₂|,….,|x_N|,|a|+Ԑ} деп алсақ , онда |x_n|<M n N.

Жеткіліктігі. Жеткіліктігін кемімейтін тізбек үшін дәлелдейік. Айталық {x_n} тізбегі жоғарыдан шектелген болса, онда оның дәл жоғарғы шекарасы x_n бар. Ал дәл жоғарғы шекара анықтамасы бойынша Ԑ > 0 x_N {x_n} (s- Ԑ<x_N ≤ s). Тізбек кемім ейтін болғандықтан n>N үшін s- Ԑ< x_N≤ x_n ≤s.|s- x_n |= s- x_n<Ԑ. Сонымен x_n = s= x_n . Дәл осылай өспейтін тізбек үшін де дәлелдеуге болады. Бұл жағдайда x_n = x_n.

Бірсарынды тізбектер бір жақты шенелген , сондықтан кемімейтін тізбектің жоғарыдан , ал өспейтін тізбектің төменнен шектеулі болуы тізбектің шектеулі болуымен тең мағыналы.

Мысал:1. =0, егер q>1 болса. Шынында да, егер x_n = десек , x_n+1 = n N. Ал, <1 болғандықтан, N нөмірі табылып , барлық n>N үшін <1, сондықтан x_n+1 <x_n , Тізбектің саны ақырлы мүшелерінің тізбек жинақтылығына әсері болмағандықтан , бізге x_N+1 >x_N+2 >…. тізбегінің шегін тапсақ болғаны . Бұл тізбек мүшелері оң , демек, төменнен шектеулі екенін көреміз , сондықтан жоғарыдағы Вейерштрасс критерийінен оның шегінің бар екені шығады . Айталық, ол шек a болсын, яғни х_n= =a, болсын.

Сонда a= x_n+1 = x_n= x_n бұдан (1- )a=0. Демек , a=0.

.