22) Ролль тероемасы

Егер [a.b] кесіндісінде үзіліссіз ʄ функциясы (a.b) интервалында дифференциалданса және ʄ (a)= (b) болса , онда (a.b) аралығында ʄ '( )=0 болатын ξ нүктесі табылады .

Дәлелдеуі Функция [a.b] кесіндісінде үзіліссіз болғандықтан Вейрштрасстың 1 тероемасы бойынша ол осы кесіндіде шектелген.Онда оның дәл төменгі шекарасы m= ʄ '(х) және дәл жоғарғы шекарасы M= ʄ (х) бар. Егер m=M болса , онда ʄ (х)=const , демек , ξ үшін (a.b) аралығының кез нүктесін алуға болады.

Егер m болса , онда ʄ (a)=ʄ (b) ʄ (b) теңсіздіктерінің ең болмағанда бідеуі орындалады. Айталық , ʄ (a)=ʄ (b) болсын. Онда Вейрштрасстың 2 ші теоремасы бойынша ʄ (ξ)=M болатын (a.b) аралығынан ең болмағанда бір нүкте ξ табылады (ξ өйткені ʄ (a)=ʄ (b) ). Демек , ξ нүктесі ʄ (х) функциясының төңіректік максимум нүктесі. Ферма теоремасы бойынша ʄ (ξ)=0.

Дәл осылай ʄ (a)=ʄ (b) жағдайы да сөзбе-сөз дәлелденеді. Теорема дәлелденді.

23.Сұрақ Ақырлы өсімше туралы Лагранж теоремасы

Лагранж теоремасы . Егер [a, b] кесіндісінде үзіліссіз f:[a, b] функциясы (a,b ) интервалында дифференциалданса, онда f(b) – f(a)= f’ нүктесі табылады.

Қысқаша бұл теореманы былай жазуға болады: f C’(a, b) => (a, b)(f(b)- f(a)= f’ ).

Дәлелдеуі.Дәлелдеу үшін көмекші

g(x)=f(x)- (x-a)

фнкциясын құрайық. Бұл функция [a,b] кесіндіде үзіліссіз және (а,b) интервалында дифференциалданады әрі g(а)=g(b).

Демек, бұл функция үшін Ролль теоремасы бойынша g’( яғни f’

болатын (а,b) аралығынан нүктесі табылады.Теорема дәлелденді

24.Ақырлы өсімше туралы Коши теоремасы.

1- теорема. Егер [a,b] кесіндісінде үзіліссіз f : [a,b] R және g : [a,b] R функциялары (a,b) интервалында диффенренциалданса , онда (f(b) – f(a))g’( ) – (g(b) – g(a))f’(𝝽) = 0 болатын (a,b) интервалынан ең болмағанда бір нүктесі табылады.

Дәлелдеуі. Дәлелдеу үшін h(x)= (f(b) – f(a))g(x) – (g(b) – g(a))f(x)

Көмекші функциясын құрайық. Бұл функция [a,b] кесіндісінде үзіліссіз, (a, b) интервалында дифференциалданады және h(a) = h(b). Демек, Ролль теоремасының барлық шарттары орындалған. Сондықтан h’ = 0 болатын (a, b) интервалынан 𝝽 нүктесі табылады, яғни (f(b) – f(a))g’( ) – (g(b) – g(a))f’(𝝽) = 0. Теорема дәлелденді.

25.Экстремум бар болуының бірінші туынды арқылы берілген жеткілікті шарты

1- теорема. Айталық нүктесінің маңайында анықталған f : U( ) R функциясы нүктесінде үзіліссіз , ал оның ойылған маңайында дифференциалданатын болсын. Сонымен бірге ( ) {x ( )|x< } және ( ) {x |x > }

сәйкес нүктесінің сол жақ , оң жақ маңайлары болсын.

1) Егер f ’(x) < 0 x ( ) және f ‘(x) < 0 x ( ) болса, онда f функциясының нүктесінде экстремумы жоқ.

2) Егер f ’(x) < 0 x ( ) және f ‘(x) > 0 x ( ) болса , онда

f функциясының қатаң төңіректік минимум нүктесі

3) Егер f ’(x) > 0 x ( ) және f ‘(x) < 0 x ( ) болса, онда f функциясының қатаң төңіректік максимум нүктесі.

4) Егер f ’(x) > 0 x ( ) және f ‘(x) > 0 x ( ) болса, онда f функциясының нүктесінде экстремумы жоқ.

Дәлелдеуі

шарттардың орындалуында ( ) аймағында f функциясы қатаң кемиді, ал функция нүктесінде үзіліссіз болғандықтан ( ) , демек, f(x) > f( ) x ( ). Дәл осылай f (x) < f ) x ( ) екенін де көрсетуге болады. Сонымен, функция бүкіл U( ) маңайында қатаң кемімелі , яғни функцияның экстремумы емес.

Шарттардың орындалуында 1) жағдайдағыдай f ’(x) < 0 x ( ) болса онда f функциясының нүктесінде үзіліссіздігінен f(x) > f( ) x ( ) теңсіздігін, ал f ‘(x) > 0 x ( ) болса, онда f функциясының нүктесіндегі үзіліссіздігін ескеріп, f(x) > f( ) x ( ) теңсіздігін аламыз. Бұдан f функциясының нүктесінде қатаң төңіректік минимумының бар екенін көреміз.3) және 4) жағдайлары дәл осылай дәлелденеді.