18) Үзіліссіз функция шектеулігі туралы Вейерштрасс теоремасы.

Теорема. Кесіндіде үзіліссіз функция осы кесіндіде шектеулі.

Дәлелдеуі.

[a, b] кесіндісінде үзіліссіз f(x) функциясы осы кесіндіде шектелмеген деп ұйғарайық . Онда Енді М=n(n=1,2,…..) деп |f(x_n)|>n болатын {x_n} тізбегін түземіз. Бұл {x_n} тізбегі шектеулі, демек, Больцано- Вейерштрасс теоремасы бойынша жинақталатын { ішкі тізбек бөліп алуға болады. Айталық , к болсын. Ал а болғандықтан а . Сонымен бірге

функциясы үзіліссіз болғандықтан f( ), к . Бұлай болуы мүмкін емес, өйткені |f(x_n)|>n теңсіздігінен |f(x_n)|>n_k және f( , к , екені шығады. Бұл қайшылық теореманы дәлелдейді.

19) Үзіліссіз функцияның жоғарғы және төменгі мәндерін қабылдауы.

Теорема.Кесіндіде үзіліссіз функция осы кесіндіде өзінің ең үлкен және ең кіші мәндерін қабылдайды.

Басқаша айтқанда, f C[a,b]⟹ x’, x’’ [a,b] ( f(x’ )= )

Дәлелдеуі.тек дәл жоғарғы шекара үшін ғана жүргізсек болғаны, өйткені = - Айталық, М болсын. Бізге М болатын [a,b] кесіндісінен x’’ нүктесінің табылатынын көрсетсек болғаны. Керісінше , ондай нүкте жоқ деп ұйғарайық. Онда g(x) = функциясы [a,b] кесіндісінде үзіліссіз және осы кесіндіде g(x) . Ал («Теорема. Кесіндіде үзіліссіз функция осы кесіндіде шектеулі.» бойынша) g(x) функциясы шектелген, яғни g(x) = . Мұнан f(x) . Бұлай болуы мүмкін емес , өйткені М саны f(x) функциясын жоғарыдан шектейтін сандардың ең кішісі. Бұл қайшылық теореманы дәлелдейді.

20) Үзіліссіз функцияның бірқалыпты үзіліссіздігі туралы Кантор теоремасы.

Теорема. Кесіндіде үзіліссіз функция осы кесіндіде бірқалыпты үзіліссіз.

Дәлелдеуі. Керісінше [a,b] кесіндісінде үзіліссіз функция осы кесіндіде бірқалыпты үзіліссіз емес деп үйғарайық, яғни

Нөлге жинақталатын кез келген { } оң сандар тізбегін алып,

|x’_n – x’’_n| < |f(x’_n) – f(x’’_n)| >

болатын

{ x’_n } , { x’’_n}⊂

екі тізбегін құрайық. Больцано- Вейерштрасс теоремасы бойынша шектеулі { x’_n } тізбегінен х₀ санына жинақталатын іштізбегін бөліп алуға болады. ⊂

болғандықтан, х₀ . Ал |x’_n – x’’_n| < теңсіздігінен - < < + теңсіздіктері шығатыны айқын. Сонда мұнан ұмтылдырып шекке көшсек, х₀ аламыз.

Сонымен , тізбектерінің екеуі де бір х₀ шегіне ұмтылады. Ал

функциясының х₀ нүктесінде үзіліссіздігінен { f( }, {f( )} тізбектері де бір f(х₀)

шекке ұмтылуы керек. Бірақ бұлай болмайды, өйткені | f(x’_n) – f(x’’_n)| > теңсіздігінен . Бұл қайшылық теореманы дәлелдейді.

21) Ферма теоремасы

Егер R функциясынын E ішкі экстремум нүктесі болса, онда оның бұл нүктедегі туындысы ʄ ' ( ) нөлге тең, яғни ʄ ' ( )=0.

Дәлелдеуі Функция ( ). ʄ ' ( ) бар және ʄ ͵' ( )= ( )=ʄ ' ( ). Онда + болғанда

және

Дәл осылай болғанда

және ,

Демек ʄ ͵' ( )= ( )=ʄ ' ( ) болғандықтан , ʄ ' ( )=0. Теорема дәлелденді.

Ескерту Бұл тек қажетті шарт , жеткілікті шарт емес .Мысалы ʄ(х)= функциясының ʄ (0)=0, бірақ х=0 нүктесінде экстремум жоқ.

Бұл тероеманың геометриялық мағынасы: ішкі төңіректік экстремум нүктесінде у=ʄ (х) функциясының графигіне жүргізілген жанама ОХ өсіне паралель . Ал ішкі төңіректік экстремум емес нүктелерде бұл тероема дұрыс емес , Мысалы , жоғардағы мысалда х= нүктесінде ʄ ' ( ) 0.