14) Функция шегінің бар болуының Коши критерийі

Теорема. f : E функциясының Е ұмтылғанда нақты мәнді шегінің бар болуы үшін кез келген санына сәйкес 0 шарттарын қанағаттандыратын барлық х,х’ нүктелері үшін |f(x)- f(x’)|< теңсіздігі орындалатын санының табылуы қажетті және жеткілікті.

Дәлелдеуі. Қажеттілігі. Егер шегі бар болса, онда шек анықтамасы бойынша ) /\ (|f(x’) – b|< ))

Сонда |f(x) – f(x’)|

Жеткілікті. (a) (a) (|f(x) – f(x’)|< - Коши шарты орындалған деп ұйғарайық. Сонымен бірге, {x_n} x_n және а санына жинақталатын тізбек болсын. Сонда {f(x_n)} тізбегінің фундаментальдік екенін көрсетейік. Шынында да, {x_n} тізбегі а-ға ұмтылатын болғандықтан, N x_n- a|< ( Осы теңсіздік пен |f(x) – f(x')|< (a) теңсіздіктерін салыстырып, x_n) – f(x_m)|, яғни {f(x_n)} сандық тізбегі фундаментальдік, демек, жинақты.

Енді {f(x_n)} тізбегінің шегі {x_n} тізбегін таңдаудан тәуелсіз екенін көрсетейік. Шынында да, егер біз а санына жинақталатын {x _n} {x’_n} екі тізбегі бар және f(x_n) , f(x’_n) , n және деп ұйғарсақ, онда х₁, х’₁,х₂, х₂’,....., х_n, х’_n,….. тізбегі де а санына жинақталады, бірақ f(х₁),f( х’₁),f(х₂),f( х₂’),....., f(х_n),f( х’_n),… тізбегі жинақталмайды. Бұл қайшылық b=b’ екенін көрсетеді. Теорема дәлелденді.

15) Бірсарынды функция шегінің бар болу критерийі.

Теорема. Айталық i=inf E, s=sup E сандары Е жиынының шектік нүктелері, ал f : E функциясы Е жиынында кемімейтін функция болсын. f функциясының E э х s

Ұмтылғанда шегінің, бар болуы үшін оның жоғарыдан шектеулі болуы қажетті және жеткілікті, ал

E э х i ұмтылғанда шегінің бар болуы үшін оның төменнен шектеулі болуы қажетті және жеткілікті.

Дәлелдеуі. Дәлелдеуді үшін келтірейік. Қажеттілігі. Бұл шек бар. Онда s ұмтылғанда f функциясы финалды шенелген. Ал ол Е жиынында кемімейтін функция болғандықтан, жоғарыдан шектелген. Жеткіліктілігі. f : E функциясы жоғарыдан шенелген. Оның =b шегінің бар екенін дәлелдеуіміз керек. Егер f : E функциясы жоғарыдан шенелген болса, онда оның Е жиынында қабылдайтын мәндерінің дәл жоғарғы шекарасы b= f(x) бар. Міне осы b санының шегі екенін көрсетейік. Дәл жоғарғы шекара анықтамасы бойынша кез келген саны үшін b – < f(x₀) болатын Е жиынының x₀ нүктесі табылады. Ал кемімейтін болғандықтан, Е жиынының x₀< х теңсіздігін қанағаттандыратын нүктесі үшін де b – < f (x) немесе b – < f( x )< b + Ал s=sup E болғандықтан, бұдан = b. Дәл осылай = екені де дәлелденді. Теорема дәлелденді.

16) Үзіліссіз функцияның аралық мәні туралы Больцано – Коши теоремасы. Егер кесіндіде үзіліссіз функцияның кесінді ұштарындағы мәндерінің таңбалары әртүрлі болса, онда осы кесіндіден функция мәні нөлге айналатын нүкте табылады.

Бұл теореманы логикалық символикаарқылы былай жазар едік: (f /\ (f(a)

Дәлелдеу. [a,b] кесіндісін екіге бөлейік. Егер бөлген нүктеде функция нөлге тең болмаса, онда алынған екі кесіндінің біреуінің ұштарында функция әртүрлі таңбалы мән қабылдайды. Оны тағы екіге бөліп, осы процесті жалғастыра береміз. Сонда белгілі бір қадамнан соң болатын нүктесіне түссек теорема дәлелденген болады. Немесе нөлге ұмтылатын {I_n} енгізілген кесінділер тізбегін аламыз. Бұл жағдайда Коши-Кантор енгізілген принципі бойынша осы алынған кесінділердің бәріне ортақ жалғыз нүктесі табылады. Құрғанымыз бойынша I_n кесіндінің ұштарынан түзілген f(x’_n) < 0 болатын {x’_n} және f(x’’_n) > 0 болатын { x’’_n} екі тізбегін алдық, әрі бұл тізбектер шектері . Тізбек шегінің қасиеті мен үзіліссіздік анықтамасынан және . Сонымен, . Теорема дәлелденді.

17) 1-теорема. Үзіліссіз функцияның аралық мәні туралы Больцано – Коши теоремасы. Егер кесіндіде үзіліссіз функцияның кесінді ұштарындағы мәндерінің таңбалары әртүрлі болса, онда осы кесіндіден функция мәні нөлге айналатын нүкте табылады.

Бұл теореманы логикалық символикаарқылы былай жазар едік: (f /\ (f(a)

(2)-теорема.Үзіліссіз функцияның аралық мәні туралы Коши теоремасы.

Егер функциясы [a,b] кесіндісінде үзіліссіз және болса, онда және сандарының арасындағы кез келген С саны үшін болатын ең болмағанда бір a,b) нүктесі табылады.

Бұны логикалық символика арқылы былай жазуға болады:

( f (f (a) f (b)) ⟹(

Дәлелдеуі. f (a) С f (b) болғандықтан

(g(x)=f(x) – C (g(a) ∙ g(b))=(f(a) – C)(f(b) – C )<0),

(1)-теорема.

⟹ (a,b) (g(𝜉) – C =0). Теорема дәлелденді.