4)Лебег-Борель ақырлы бүркеу принципі.

Х жиындарының s={X} жүйесі Y жиынын бүркейді деп айтады, егер Y Х болса, яғни егер У жиынының кез келген элементі s жүйесінің ең болмағанда бір Х жиынында жатса. s={X} жиынының жиындар жүйесі болатын ішжиынын s жүйесінің іш жүйесі деп атаймыз.

Сонымен , жиындар жүйесінің іш жүйесінің өзі де сол тектес жиындар жүйесі болады.

Кесіндіні бүркейтін кез келген интервалдар жүйесінде осы кесіндіні бүркейтін ақырлы ішжүйе бар.

Дәләлдеуі. Айталық, [a,b]=I₁ кесіндісі берілсін , ал s={U} оны бүркейтін U интервалдар жүйесі болсын . Егер I₁ кесіндісін s жүйесінің саны арқылы интервалдарымен бүркеу мүмкін болмаса, онда I₁ кесіндiсін тең екіге бөлсек,олардың ең болмағанда бір жартысын (оны I₂ арқылы белгілейік) тағы да ақырлы интервалдармен бүркеу мүмкін емес.Осындай тең екіге бөлу тәсілін I₂

кесіндісі үшін де жасап, I₃ кесіндісін алады т.т.

Сонымен s жүйесінің интервалдарымен ақырлы бүркеу мүмкін болмайтын I₁ I₂ …..I_n .......

Енгізілген кесінділер тізбегі пайда болды.Ал өзіміздің түзуіміз бойынша n – ші қадамда алынған кесінді ұзындығы |I_n| = болғандықтан, I_n енгізілген кесінділер тізбегінде ұзындығы жеткілікті кішкене кесінділер бар. Демек Коши – Кантор принципі бойынша барлық I_n , N кесінділеріне ортақ с нүктесі табылады. Ал =[a,b] болғандықтан s жүйесінің с нүктесін ұстайтын, яғни болатын (α,β)=U интервалы табылады.Айталық болсын. Онда өзіміз түзген кесінділер тізбегінен ұзындығы |I_n| болатын I_n кесіндісін табамыз. Ал с I_n және

|I_n| болғандықтан, I_n U=(α,β). Бірақ, бұл I_n кесіндісін жүйенің ақырлы интервалдарымен бүркеуге болмайтындығына қайшы.

5. Больцано Вейерштрасс шектік нүкте принципі. Әрбір ақырсыз шенелген сандық жиынның ең болмағанда бір шектік нүктесі бар .

Дәлелдеуі. Айталық Х- R жиынының ақырсыз шенелген жиыны болсын. Оның шенелгендігінен оның белгілі бір [a, b]= I R кесіндісінде жататындығы шығады, яғни Х I R .

Енді I жиынының ең болмағанда бір нүктесінің Х үшін шектік нүкте екенін көрсетейік.

Егер бұлай болмаса онда I кесіндісінің әрбір х нүктесінің маңайында Х жиынының бірде бір нүктесі жоқ, ал егер бар бола қалса , саны ақырлы болатын О(х) маңайы табылады. Сонда әрбір х нүктесі үшін құрылған {O(x)} маңайлар жиыны I кесіндісінің бүркейтін интервалдар жүйесін түзеді. Бұдан I кесіндісін бүркейтін ақырлы О ), О ) , …. , О ) интервалдар жүйесн аламыз. Ал Х I болғандықтан бұл жүйе Х жиынын да бүркейді. Бірақ әрбір интервалдағы Х жиынының нүктелер саны ақырлы , демек , олардың О ) бірігуінде де Х жиынның нүктелер саны ақырлы, яғни Х ақырлы жиын. Бұл қайшылық принципті дәлелдейді.

7)Бернулли теңсіздігі және е саны

Арифметикада 1 саны, ал геометрияда π саны сияқты анализде айрықша ролі бар сандардың бірі – Эйлердің белгілеуінен бастап е саны деп аталатын және

x_n , n=1,2…

тізбегінің шегі болатын санның бар екенін дәлелдеумен айналысамыз. Алдымен Бернулли теңсіздігі деп аталатын

(1+ )ⁿ , n , , (1)

теңсіздігін математикалық индукция әдісімен дәлелдейміз. Шынында да, жоғарыдағы (1) теңсіздік n=1 болғанда орындалады. Егер ол n=k үшін орындалса, онда k+1 үшін де орындалады, өйткені

(1+α)^k+1=(1+α)(1+α)^k (1+ (1+k =1+(k+1) +kα² ,

Демек, (1) теңсіздік кез-келген n үшін орындалады.

Енді у_n= _n(1+ ) тізбегінің кемімелі және төменнен шектелген екенін көрсетеміз. Ол үшін n деп, Бернулли теңсіздігін пайдаланып,

= = = (1+ (1+ ) =1

Болатынын ,яғни екенін анықтаймыз.Демек, = у_n тізбегі кемімелі. Ал тізбектің мүшелері оң болғандықтан, ол төменнен шектелген.

Сондықтан Вейерштрасс критерийі бойынша у_n= тізбегінің шегі бар. Сонымен бірге,

_n= = ₌

_{= = n}

Қорытындысында х_n тізбегінің шегі бар екенін дәләлдәдік, сол санды е арқылы белгілейміз:

е:= _.

8- сұрақ. Ішкі тізбек туралы Больцано – Вейерштрасс теоремасы.

Теорема (Больцано - Вейерштрасс) . Кез келген шектеулі {х_n} тізбегінен жинақталатын ішкі тізбек бөліп алуға болады.

Дәлелдеуі. {х_n} тізбегі шектеулі болғандықтан M>0 саны табылып |{х_n}| ≤M, яғни тізбектің барлық мүшелері [- M,M] кесіндісінде жатады,мұны ыңғайлылық үшін [a₁,b₁] деп белгілейік. Осы кесіндіні тең екіге бөлсек , ол екі кесіндінің ең болмағанда біреуінде {х_n} тізбегінің саны ақырсыз мүшелері жатады, дәл сол шексіз көп мүшелері жатқан бөлігін [a₂,b₂] арқылы белгілеп ,оны тағы да тең екіге бөлейік те, соның {х_n} тізбегінің шексіз көп элементтері жатқан бөлігін [a₃,b₃] арқылы белгілейік . Сөйтіп осы тәсілді жалғастыра берсек , ұзындықтары b_k - a_k=

K= 1, 2 …

Болатын {[a_k,b_k]} енгізілген кесінділер тізбегін аламыз.Коши – Кантор принципі бойынша осы кесінділердің бәріне ортақ с нүктесі табылады, яғни a_k≤c≤b_k. Енді осы с санына жинақталатын {x_nk} ішкі тізбегін түзейік . x_n1 үшін {x_n} тізбегінің кез- келген бір мүшесін аламыз, ал x_n2 үшін {x_n} тізбегінің [a₂,b₂] кесіндісінде жатқан нөмірі n₂>n₁ болатын мүшесін аламыз. Мұндай нөмір мен таңдауға әрқашанда болады, өйткені [a₂,b₂] кесіндісінде тізбектің шексіз көп мүшелері бар. Осы тәсілді жалғастыра отырып, a_k≤x_nk≤b_k. болатын {x_nk} ішкі тізбегін түземіз. Енді осы тізбектің с санына жинақталатынын көрсетейік. 0 ≤| c - x_nk |≤ b_k – a_k =

Мұнан шекке көшсек , x_nk с екені шығады.

9.сұрақ.Жоғарғы және төменгі шектердің дербес шектермен байланысы.

Теорема1.Шектеулі тізбектің төменгі және жоғарғы шектері оның дербес шектерінің сәйкес ең кішісі және ең үлкені болады.

Дәлелдеу. Мысалы, i = төменгі шек үшін ғана жүргіземіз . = тізбегі кемімейтін және = i шегі бар тізбек.Төменгі шекара анықтамасы бойынша әрбір n N үшін + және < болатын N сандарын табамыз. Ал, = = i болғандықтан шек қасиеті бойынша , = i . Сонымен, i- ең кіші дербес шек екен. Енді яғни = болғандықтан , бұл теңсіздік ешбір басқа дербес шектердің i- –нен кіші бола алмайтынын көрсетеді. Ал кез келген болғандықтан ,ол i- ден кіші бола алмайды

Теорема2.Кез келген тізбектің төменгі шегі оның дербес шектерінің ең кішісі, ал жоғарғы шегі оның дербес шектерінің ең үлкені.

Дәлелдеуі. Айталық тізбек төменнен шектелмеген болсын , онда одан - -ке ұмтылатын ішкі тізбек бөліп алуға болады. Демек мұнда да төменгі шек барлық дербес шектердің ең кішісі, ал жоғарғы шек = - ақырлы болуы мүмкін және онда ол 1- теорема бойынша дербес шектердің ең үлкені. Егер = + болса, онда тізбек жоғарыдан шектелмеген және + -ке ұмтылатын ішкі тізбек бөліп алуға болады . Егер = - болса, онда = , яғни { } тізбегінің өзі - , егер = +∞ болса,онда + .