1)Дәл жоғарғы шекара критерийі

Егер А R жиынының барлық а А сандары үшін а≤М шартын қанағаттандыратын М нақты саны табылса, онда А R жиынын жоғарыдан шектелген немесе жоғарыдан шенелген жиын деп атайды. М санын А жиынының сәйкес жоғарғы шекарасы деп атайды.

А жиынының жоғарғы шекараларының ең кішісі S бар болса, А жиынының дәл жоғарғы шекарасы деп атайды да s:= supA немесе s:= арқылы жазады. Сөйтіп, супремум А немесе А жиынының барлық х элементтерінің супремумы деп оқиды.

Тұжырым. S саны А R жиынының дәл жоғарғы шекарасы болуы үшін 1) 2) S’ болса, онда шарттарының орындалуы қажетті және жеткілікті.

Дәлелдеуі.Қажеттілігі. Айталық, S саны А жиынының дәл жоғарғы шекарасы болсын. Онда дәл жоғарғы шекараның анықтамасы бойынша

Енді егер S’ болатын S’ санын алсақ, онда , өйткені кері жағдайда болар еді де, дәл жоғарғы шекара жоғарғы шекаралардың ең кішісі болмай қалар еді (жоғарғы шекара S’ ).

Жеткіліктілігі.Егер 1) және 2) шарттар орындалса, онда 1) шарт бойынша саны А жиынының жоғарғы шекарасы болады, 2) шарт бойынша ол ең кіші жоғарғы шекара.

2) Дәл төменгі шекара критерийі

Егер А R жиынының барлық а А сандары үшін а≥ m шартын қанағаттандыратын m нақты саны табылса, онда А R жиынын төменнен шектелген немесе төменнен шенелген жиын деп атайды. m санын А жиынының сәйкес төменгі шекарасы деп атайды.

А жиынының төменгі шекараларының ең үлкенін А жиынының дәл төменгі шекарасы деп атайды да i:=inf A немесе i:= арқылы жазады және инфимум А немесе А жиынының барлық х элементтерінің инфимумы деп оқиды.

Тұжырым. i саны А R жиынының дәл төменгі шекарасы болуы үшін 1) 2) i’ i болса, онда шарттарының орындалуы қажетті және жеткілікті.

Дәлелдеуі.Қажеттілігі. i санын А жиынының дәл төменгі шекарасы деп алайық. Онда дәл төменгі шекараларының анықтамасы бойынша

Енді егер i’> i болатын i’ санын алатын болсақ, онда , өйткені кері жағдайда болар еді де, дәл төменгі шекара i төменгі шекаралардың ең үлкені болмай қалар еді (төменгі шекара i’ i ).

Жеткіліктілігі. Егер 1) және 2) шарттар орындалса, онда 1) шарт бойынша i саны А жиынының төменгі шекарасы , 2) шарт бойынша ол ең үлкен төменгі шекара.

3)Коши – Кантор енгізілген кесінділер принципі.

Кез келген I₁ I₂ …..I_n ....... енгізілген кесінділер тізбектері үшін осы тізбектердің бәріне ортақ с саны табылады. Егер, сонымен бірге, кез-келген саны үшін ұзындығы <

болатын тізбектің _k кесіндісі табылса, онда с- барлық кесіндіге ортақ жалғыз нүкте.

Дәләлдеуі. Біздің кесіділер енгізілген болса, онда олардың кез-келген =[a_m , b_m], I_n=[a_n ,b_n]

екі кесіндісі үшін әрқашанда а_m b_n. Шынында да , егер керсінше болса, онда a_n b_n<a_m b_m , болар еді де, біз I_m, I_n тізбектерінің ортақ нүктелері жоқ деген қорытындыға келер едік, ал теорема шарты бойынша кіші кесінді ішінде нөмірі үлкен кесінді толықтай жатуы тиіс.

Сонымен, А={a_m , m N}, B={b_n , N} сандық жиындары үшін толықтық аксиомасының барлық шарттары орындалған, демек, ол бойынша a_m A, b_n B үшін орындалатын a_m с _n саны табылады.Мұның бір дербес жағдайы а_{n n} , демек, а_{n n} , N. Ал бұдан с нүктесінің барлық I_n кесінділерінің нүктесі екенін көреміз.

Енді барлық I_n кесінділерінде дәл осындай қасиеті бар с₁ және с₂ нүктелері бар делік. Егер олар әртүрлі, яғни айталық, с_{1 2} болса, онда а_n с_{1 2 n} , N. Сондықтан 0 ₂ - с_{1 n} - а_n

және біздің әрбір тізбектің ұзындығы ₂ - с₁ оң шамасынан кем бола алмайды . Демек, егер тізбектерде ұзындықтары жеткілікті кішкене кесінділер бар болса, онда олардың бәріне ортақ нүкте жалғыз.