III. Вычисление объема тела
1) Вычисление объема тела по известным площадям поперечных сечений
Если
площадь сечения тела плоскостью,
перпендикулярной оси
,
может быть выражена как функция от
,
то есть в виде
,
то объем
части тела,
заключенный между перпендикулярными
оси
плоскостями
и
находится
по формуле
.
Пример.
Найти
объем пирамиды
по площади основания
и высоте
(см. рис. 15).
Решение.
Площадь
сечения
находим из пропорции:
.
Следовательно,
(куб.
ед.).
2) Вычисление объема тела вращения
а
)
если криволинейная
трапеция,
ограниченная кривой
и прямыми
,
и
,
вращается
вокруг оси
,
то объем
тела вращения
находится по формуле
.
б)
Объем тела, образованного
вращением вокруг оси
криволинейной трапеции, прилежащей
к оси
,
определяется
формулой
.
в)
если плоская фигура,
ограниченная кривыми
,
и прямыми
,
,
вращается вокруг оси
,
то объем
тела
вращения
вычисляется
по формуле
.
(Аналогично находится объем
тела вращения вокруг оси
,
то
есть
).
П
ример.
Найти
объем тела, образованного вращением
вокруг оси
фигуры, ограниченной кривой
и прямой
(см.
рис.16).
Решение.
(куб.ед.)
IV. Вычисление площади поверхности вращения
Если
дуга гладкой кривой
вращается вокруг оси
,
то площадь
поверхности вращения находится по
формуле
.
(2.6)
Аналогично
находится площадь
поверхности вращения вокруг оси
,
то
есть
.
Пример.
Найти
площадь поверхности вращения вокруг
оси
дуги кривой
от
до
(см. рис. 17).
Решение.
,
(кв.ед).
2
)
Если кривая
задана параметрическими уравнениями
,
и при изменении
от
до
функция
изменяется от
до
,
,
то при замене переменной
в формуле (2.6) получим формулу площади
поверхности вращения
.
Пример.
Найти
площадь поверхности вращения вокруг
оси
циклоиды
(см. рис. 11).
Решение.
,
тогда
2.11. Приближенное вычисление определенных интегралов
При решении технико-экономических задач приходится находить определенные интегралы от функций, первообразные которых не выражаются через элементарные функции. Эффективным средством вычисления таких интегралов являются приближенные формулы вычисления определенных интегралов. Приведем две из них:
1.
- формула
трапеций.
2.
.
Эта формула называется формулой парабол или формулой Симпсона.
В
формуле парабол значение
в нечетных точках разбиения
имеет коэффициент 4, в четных точках
– коэффициент 2 и в двух граничных точках
,
– коэффициент 1.
Геометрический смысл формулы трапеций (парабол) в том, что площадь под графиком функций на приближенно заменяется суммой площадей фигур, лежащих под прямыми, соединяющими соседние точки разбиения (под параболами).
Абсолютная
величина погрешности формулы трапеций
для
,
имеющей на
непрерывную вторую производную не
превышает
,
где
– наибольшее значение
на
.
Абсолютная
величина погрешности формулы Симпсона
для функции
,
имеющей на
непрерывную производную четвертого
порядка, не больше, чем
,
где
– наибольшее значение
на
.
Так как
растет быстрее, чем
,
то погрешность формулы Симпсона с ростом
уменьшается значительно быстрее, чем
погрешность формулы трапеций.
Пример. Найти приближенное значение заштрихованной площади между кривой фактического распределения дохода (кривой Лоренца) и линией абсолютного равенства (см. рис. 18). Такая площадь является мерой неравенства в распределении дохода.
Диаграмма вычерчена на основе данных, приведенных в таблице 2.
Доход
(%)
Численность
населения
Таблица 2
-
% дохода
% населения
абсолютное равенство
фактическое распределение дохода
0
0
0
20
20
5
40
40
16
60
60
32
80
80
55
100
100
100