2.6. Формула Ньютона-Лейбница
Функция
– является одной из первообразных для
непрерывной на
функции
.
Пусть
– любая другая первообразная для
на том же отрезке
.
Так как первообразные отличаются на
константу, то имеет место равенство:
,
.
(2.3)
Теорема (Формула Ньютона-Лейбница).
.
(2.4)
Пример
1.
Вычислить
.
Решение.
.
Пример
2.
Вычислить
.
Решение.
=
.
Примечание.
Пример 2 можно было решить, используя 7
свойство, то есть
.
2.7. Замена переменной в определенном интеграле
Теорема (Формула замены переменной (подстановки) в определенном интеграле).
Пусть – непрерывная функция на отрезке . Тогда, если:
1)
– дифференцируемая функция,
– непрерывная функция,
2)
и
,
то справедлива формула:
.
(2.5).
Пример
1.
Вычислить
.
Решение.
.
Пример
2.
Вычислить
.
Решение.
.
Замечание.
При использовании формулы (2.5) необходимо
проверять выполнение условий теоремы.
Например, в примере 2 функция
=
непрерывна на [0,1],
дифференцируема на [0, p/2]
и
непрерывна на [0, p/2].
2.8. Интегрирование по частям в определенном интеграле
Теорема (Формула интегрирования по частям в определенном интеграле).
Если
функции
и
имеют непрерывные на отрезке
производные, то справедлива формула
.
Пример
1.
Вычислить
.
Решение.
.
Пример
2.
Вычислить
.
Решение.
Применив дважды операцию интегрирования по частям, снова получили исходный интеграл, то есть пришли к уравнению относительно искомого интеграла.
.
Решим это уравнение.
2.9. Несобственные интегралы
При вычислении определенного интеграла предполагалось что:
отрезок интегрирования
конечный;функция y = f(x) непрерывна на
.
Если нарушено хотя бы одно из этих условий, то определенный интеграл называется несобственным.
Все несобственные интегралы делятся на интегралы I и II рода.
Несобственные
интегралы I рода
– интегралы с бесконечными
пределами интегрирования
имеют вид:
,
,
.
Вычисление несобственных интегралов I рода осуществляется следующим образом:
1)
;
2)
;
3)
.
Несобственный интеграл существует или сходится, если существует конечный предел, стоящий в правой части равенства случаев 1) и 2), а в случае 3) – оба предела. Если предел не существует или равен бесконечности, то несобственный интеграл расходится.
Пример
1.
Вычислить
.
Решение.
.
Предел
при
не существует, то есть данный интеграл
расходится.
Пример
2.
Вычислить
.
Решение.
,
то есть несобственный интеграл сходится.
Пример
3.
Вычислить
.
Решение.
Несобственный интеграл конечен, следовательно, сходится.
Несобственные интегралы II рода – интегралы от неограниченных функций.
Вычисление несобственных интегралов II рода осуществляется следующим образом:
если
функция
определена
и непрерывна на полуинтервале
,
а в точке
терпит бесконечный разрыв, то
;
если
функция
определена
и непрерывна на полуинтервале
,
а в точке
терпит бесконечный разрыв, то
;
если
точка
,
в которой функция
терпит бесконечный разрыв лежит внутри
отрезка
,
то
,
то есть получили 1) и 2) случаи.
Если пределы, стоящие в правой части равенства случаев 1), 2) и 3) существуют и конечны, то несобственные интегралы сходятся, в противном случае они расходятся.
Пример
1.
Вычислить
.
Решение.
Так как конечного предела не существует, следовательно, несобственный интеграл расходится.
Пример
2.
Вычислить
.
Решение.
Так как предел конечный, следовательно, несобственный интеграл сходится.