1.9. Интегрирование иррациональных функций
Не для всякой иррациональной функции можно найти первообразную в виде элементарной функции.
Рассмотрим интегралы от некоторых иррациональных функций, которые с помощью определенных подстановок приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной.
Определение.
Рациональной
функцией от
двух переменных
и
называется функция, получающаяся из
двух переменных
и
,
и некоторых постоянных, над которыми
производятся только операции сложения,
вычитания, умножения и деления.
Пример.
Функция
является рациональной.
Замечание.
Функция
является рациональной функцией переменных
x
и
,
но является иррациональной, если
рассматривать ее как функцию одной
переменной
x.
I.
Интегралы
вида
,
где
– рациональная функция,
– целые числа вычисляются с помощью
подстановки
,
,
где
– наименьшее общее кратное чисел (НОК)
.
Тогда каждая дробная степень
выразится через целую степень
и, следовательно, подынтегральная
функция преобразуется в рациональную
функцию от
,
то есть
.
Пример
1.
.
Решение.
Имеем
=
=
.
Пример
2.
Найти
.
Решение.
II.
Интегралы
вида
,
где
R
– рациональная функция,
– постоянные,
– целые положительные числа,
приводится к интегралу от рациональной
функции новой переменной
с помощью подстановки
,
где число
– наименьшее общее кратное (НОК)
знаменателей дробей
,
т.е.
=НОК
.
Пример.
Найти
.
Решение.
Примечание.
Интегралы
вида:
,
,
были
рассмотрены в пункте
1.6.
IV.
Интегралы
вида
с помощью
подстановки
приводятся к интегралам, рассмотренным
в пункте
1.6.
Пример.
Найти
.
Решение.
=
.
V.
Интегралы
от дифференциальных биномов
,
где
– рациональные числа, как доказал
Чебышев П.Л., выражаются через элементарные
функции только в трех случаях:
1)
– целое число, тогда данный интеграл
сводится к интегралу от рациональной
функции с помощью подстановки
,
где
– наименьшее общее кратное знаменателей
дробей
и
;
2)
– целое число, тогда применяется
подстановка
,
,
;
3)
– целое число, тогда используется
подстановка
,
где
– знаменатель дроби
.
Пример.
Найти
.
Решение.
VI.
Интегралы
вида
находятся
с помощью множества различных приемов.
Рассмотрим только один – "метод
тригонометрических подстановок".
Выделением под знаком радикала полного
квадрата (после выполнения надлежащей
линейной подстановки) рассматриваемые
интегралы сводятся к интегралам одного
из следующих трех видов:
.
Интегралы этих трех видов приводятся к интегралам, рационально зависящим от новых переменных с помощью следующих подстановок:
1.
или
для
.
2.
или
для
.
3.
или
для
.
Пример.
Найти
.
Решение.
=
1.10. Интегралы вида где r – рациональная функция
Интегралы
такого вида с помощью подстановки
преобразуются в интегралы от рациональных
функций, то есть
Пример.
Найти
.
Решение.
1.11. Интегрирование тригонометрических выражений
I.
Интегралы
вида
где
– рациональная функция, приводятся к
интегралам от рациональных функций
новой переменной с помощью универсальной
тригонометрической подстановки
.
В этом случае
;
;
;
Пример.
Найти
.
Решение.
=
;
,
=
=
.
Примечание.
В
некоторых частных случаях нахождение
интегралов вида
может
быть упрощено:
1.
Если
- нечетная функция относительно
то есть, если
=-
,
то интегралы вида
приводятся к интегралам от рациональных
функций новой переменной с помощью
подстановки
.
Пример.
Найти
.
Решение.
2.
Если
- нечетная функция относительно
то есть если
=-
,
то интегралы вида
приводятся
к интегралам от рациональных функций
новой переменной с помощью подстановки
.
Пример.
Найти
.
Решение.
3.
В случае, когда в подынтегральную функцию
и
входят только в четных степенях, можно
применять упрощенную подстановку
.
Например,
Пример.
Найти
.
Решение.
=
=
.
II.
Интегралы
вида
где
– целое положительное число,
– функция, зависящая только от
,
приводятся к интегралам от рациональных
функций новой переменной с помощью
подстановки
,
тогда
Примечание.
Интегралы вида
где
– целое положительное число,
– функция, зависящая только от
,
приводятся
аналогично к интегралам от рациональных
функций новой переменной с помощью
подстановки
.
Пример.
Найти
.
Решение.
III.
При
вычислении интегралов
вида
,
где
и
– целые числа, возможны следующие
случаи:
1) один из показателей или – нечетное положительное число. Если – нечетное положительное число, то применяется подстановка ; если же – нечетное положительное число, применяется подстановка .
Пример.
Найти
.
Решение. Делаем подстановку (т.к. показатель степени косинуса есть нечетное число).
=
=
.
2)
Интеграл
(
и
– четные неотрицательные числа)
вычисляется с помощью формул тригонометрии:
,
.
Пример.
Найти
.
Решение.
=
=
=
=
=
;
3) Оба показателя степени и четные числа, но один из них отрицателен. В этом случае производим замену переменной ( ).
Пример.
Найти
.
Решение.
IV.
При
вычислении интегралов
вида
,
,
применяются
тригонометрические формулы:
Они дают возможность произведение тригонометрических функций представить в виде суммы.
Пример.
Найти
.
Решение.
Замечание.
Рассмотренные
методы и приемы интегрирования не
исчерпывают всех классов аналитически
интегрируемых элементарных функций.
Если дифференцирование не выводит из
класса элементарных функций, то при
интегрировании встречаются такие
элементарные функции (например,
,
,
и т.д.), первообразные от которых не
являются элементарными функциями. Если
первообразная не является элементарной
функцией, то говорят, что интеграл "не
берется" в элементарных функциях.