1.8. Разложение рациональной функции на простейшие дроби

Известно, что всякий многочлен с действительными коэффициентами на множестве действительных чисел может быть представлен в виде:

, (1.4)

где – действительные корни многочлена кратностей соответственно, а ; . Числа – натуральные числа.

Теорема. (O разложении правильной дроби на сумму простейших дробей).

Всякую правильную дробь со знаменателем в виде (1.4), можно разложить в сумму простейших рациональных дробей типа 1 – 4. В этом разложении каждому корню кратности многочлена (множителю ) соответствует сумма дробей вида:

Каждому множителю соответствует сумма элементарных дробей .

Для вычисления значений A, M, N в разложении функции на сумму простейших используют метод неопределенных коэффициентов.

Схема интегрирования рациональных дробей с помощью

разложения на простейшие дроби

1. Если подынтегральная функция есть неправильная рациональная дробь вида , то представим ее в виде суммы некоторого многочлена и правильной рациональной дроби, то есть , где – многочлен, а – правильная рациональная дробь.

2. Разложим знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители:

,

где .

3. Правильную рациональную дробь разложим на сумму простейших дробей:

. (1.5)

4. Вычислим неопределенные коэффициенты следующим образом:

1. приведем правую часть равенства (1.5) к общему знаменателю (получим равенство двух дробей с одинаковыми знаменателями);

2. дроби равны, и их знаменатели равны, следовательно, приравняем числители (получим равенство двух многочленов);

3. приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x (получим систему линейных уравнений относительно искомых неопределенных коэффициентов );

4. решаем полученную систему линейных уравнений и находим .

   5. Подставим найденные неопределенные коэффициенты в разложение дроби (1.5).

   6. В результате интегрирование дроби сведется к нахождению интегралов от многочлена и от простейших рациональных дробей.

Замечание. Можно найти неопределенные коэффициенты и другим способом, придавая в равенстве двух многочленов переменной произвольные числовые значения. Особенно удобно придавать значения, являющиеся действительными корнями общего знаменателя (так называемые «нули знаменателя»). Часто бывает полезно комбинировать оба способа вычисления неопределенных коэффициентов.

Пример 1. Найти .

Решение. Подынтегральная функция – правильная рациональная дробь. Разложим дробь на сумму простейших дробей:

.

Приведем правую часть полученного равенства к общему знаменателю. Получим:

.

Освободимся от знаменателя:

.

Действительными корнями знаменателя являются числа 1 и (-3). Полагая , получаем , то есть . При имеем, , то есть . Подставим найденные значения и в равенство числителей

.

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые с одинаковыми степенями .

В соответствии с методом неопределенных коэффициентов приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях . Достаточно сравнить коэффициенты при степенях и . В левой части нет слагаемого содержащего , то есть коэффициент при равен 0, а при – равен 1.

Таким образом, получим:

Пример 2. Найти .

Решение. Разложим подынтегральную функцию на сумму простейших дробей и, выполнив приведение к общему знаменателю, получим

= .

Следовательно, .

В соответствии с методом неопределенных коэффициентов, собираем и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой части тождества.

.

Следовательно, . Тогда окончательно имеем:

.