6. Использование дифференциала в приближенных вычислениях

Пусть функция дифференцируема в точке . Тогда . Следовательно, . Так как , то - приближенная формула, верная с точностью до бесконечно малых более высокого порядка относительно и

Пример. Вычислить приближенное значение .

Решение.

Введем обозначения: , где , , . Так как , , тогда , , , .

Найдем и , тогда ; и

Подставляя в приближенную формулу, найдем

7. Дифференцирование сложных функций

Определение. Если , где , то называется сложной функцией аргумента , а переменные и - промежуточные переменные.

Теорема. Если функции, дифференцируемы в точке , а функция дифференцируема в точке , то сложная функция также дифференцируема в точке и ее производная вычисляется по формуле .

Пример. Найти производную функции , .

Решение. . Далее вместо и подставим их выражение через , то есть, .

Если , где и и если функции дифференцируемы, то , .

Пример. Найти производные функции , где .

Решение. ,

. Далее вместо и можно подставить их выражение через и .

Если , где , то = . В этой формуле называется полной производной функции .

Пример. Найти производную функции , где .

Решение. .

8. Дифференцирование неявных функций

Если уравнение задает некоторую функцию в неявном виде и , то дифференцируя уравнение по имеем: .

Пример. Найти производную неявной функции, заданной уравнением и вычислить ее значение при .

Решение. Обозначим .

Найдем частные производные . Тогда,

, или .

Далее, подставим в исходное уравнение и найдем соответствующие значения функции у.

, то есть при производная имеет два значения и .

Если уравнение задает функцию двух переменных в неявном виде и , то справедливы формулы:

; .

Пример. Найти частные производные неявной функции , заданной уравнением .

Решение. Обозначим = . Найдем частные производные ; .

9. Частные производные высших порядков

Пусть функцию можно дифференцировать по каждому аргументу. Если частные производные и также можно дифференцировать по каждому аргументу, то частные производные от функций и называются частными производными второго порядка, которые обозначаются

.

Частные производные от частных производных второго порядка называются частными производными третьего порядка. Они обозначаются

Аналогично определяются и обозначаются частные производные четвертого, пятого и других высших порядков.

Замечание. Частные производные высших порядков, отличающиеся последовательностью дифференцирования, равны, если они непрерывны, т.е. и т.п.

Пример. Найти частные производные второго порядка функции .

Решение.

10. Дифференциалы высших порядков

Дифференциал называется дифференциалом первого порядка.

Определение. Дифференциал от дифференциала первого порядка называется дифференциалом второго порядка функции , обозначается и вычисляется по формуле: , или .

Аналогично определяются дифференциалы третьего и других высших порядков: , или ; вообще .

Пример. Найти для функции .

Решение. Найдем частные производные , . Дифференцируя повторно, получим: ; ; .

Следовательно, .