Аддитивная функция полезности

Это наиболее простая и часто употребляемая функция полезности имеет вид

,(3.21)

где U_j(k_j) – нормированные условные функции полезности;W_j – шкалирующие коэффициенты.

Чтобы аддитивная функция изменялась в интервале [0;1], наW_jнакладывается ограничение.

Рассмотрим условия её существования в развитии мультип­ликативной функции полезности. Дело в том, что аддитивная функция является частным случаем мультипликативной функции.

Теорема 3.8.Пусть выполняются условия существо­вания мультипликативной функции полезности и сумма шкалирующих коэффициентов равна единице, тогда имеет место аддитивная функция полезности.

Доказательство.По условию теоремы

,

тогда масштабный коэффициент Cмультипликативной функции равен пулю. Проанализируем, к какому виду преобразуется мультипликативная функция при стремленииCк нулю. С целью более простого доказательства рассмотрим случай трех критериев, при этом общность (число критериев произвольное) не теряется. Перепишем мультипликативную функцию для трех критериев:

1 +CU(k₁,k₂,k₃) = ( 1 + CW₁U₁(k₁) )( 1 + CW₂U₂(k₂) )( 1 + CW₃U₃(k₃) ).

Упростив данное выражение, получим

При стремлении Cк нулю получим

.

Из-за широкого использования аддитивной функции в практике, теория её наиболее развита, поэтому для нее разработано несколько аксиоматик. В некоторых работах приведены аксиоматики, отличные от рассмотренной. На практике, для проверки условий применения аддитивной функции полезности можно использовать любую из аксиоматик. Обычно выбирается та, проверка которой проста и хорошо интерпретируется в конкретной решаемой многокритериальной задаче.

Отметим весьма важное замечание о соотношении между мультипликативной и аддитивной функциями.

Если

,

то мультипликативная функция меньше аддитивной, т.е. для значения функции U(k₁,…,k_m), определенной в соответствии с(3.11),выполняется неравенство

.

Если же , то мультипликативная функция больше аддитивной.

Разделы.

Многокритериальные задачи

Интерактивные методы решения МКЗ

Оценка объектов по многоуровневой системе критериев

Решение МКЗ в условиях неопределённости