Метод oreste

Название метода образовано из "Organisazion, RangEment ot SynTEze de donnecs relationnelles" (франц.). Метод позволяет выделить наиболее предпочтительный объект или упорядочить объекты по предпочтению. По подходу он относится к классу методов установления формальных бинарных отношений между объектами.

Отличительными особенностями метода являются:

1. критерии k_j (j=1,...m)могут быть измерены как в шкале порядка, так и в шкалах интервалов или отношений;

2. ЛПР в методе не задает веса критериев, а лишь упорядо­чивает критерии по важности;

3. необычно в методе решается проблема агрегирования критериев.

На рис.2.7приведен алгоритм метода. Рассмотрим отдель­ные этапы подробно.

На первом этапе осуществляется подготовка исходных дан­ных для метода. Как указывалось выше, в методе ORESTEдопускается упорядочение объектов по отдельным критериям, т.е. достаточно иметь ранги объектов,i –индекс объектов (i=1,...,n),j –индекс критериев (j=l,…,m). Если критерий k_j измерен в шкалах интервалов или отношений, то значения критерия необходимо перевести в ранги. Итак, после первого этапа получим матрицу рангов. Далее алгоритм метода будем рассматривать на числовом примере, приведен­ном в табл.2.2.

Таблица 2.2

Матрица рангов

Объекты	k1	k2	K3	k4
В1	1	2	3	4
В2	2	1	4	5
В3	3	5	1	3
В4	4	3.5	2	1.5
В5	5	3.5	5	1.5

На втором этапе ЛПР должно упорядочить критерии по их важности. Обозначим ранги критериев через R_j (j=1,..., m). Пусть в примере ранги критериев равныR₁ = 1;R₂ = R₃= 2.5; R₄ = 4.

На следующем этапе осуществляется объединение рангов объектов и рангов критериевR_j в число, называемоепроекцией рангов на числовую ось.Проецировать ранги можно с использованием различных видов проекций. Сформулируем свойства, которыми должны обладать :

а) если ВⁱпредпочтительнееВ^lпо критериюk_j, т.е. , то;

б) если , а критерийk_j более важен, чемk_s, т.е.R_j <R_s, то.Приведем несколько видов проекций:

линейная ортогональная:

;(2.6)

линейная:

;(2.7)

где а(0;1).Параметрауказывает, как учитываются ранги критериев и ранги объектов при вычислении проекции. Еслиа>0.5, то в большей степени учитываются ранги критериев, а приа<0.5 – ранги объектов. Приа=0.5 линейная проекция становится ортогональной.

Понятие проекции введено в связи с числовой осью для определения .Проекция рангов объектовна эту ось определяется коэффициентом, а проекция рангов критериевR_j определяется. Тогда для (2.7) отношения:

Отсюда и название проекции –линейная.Для линейной ортогональной: .

Нелинейная проекция:

,(2.8)

где р –произвольное, не равное нулю.

Для данной проекции:

. (2.9)

Рекомендуется в (2.8)принятьa=0.5.В этом случае ранги критериев и ранги объектов учитываются в проекции в равной степени. Тогда при разныхр (2.8)имеет вид:

р = 1 – среднеарифметическое ранговиR_j (линейная ортогональная проекция);

p = -1 – среднегармоническоеиR_j;

p = 2 – среднеквадратическоеиR_j;

при p-–min(,R_j);

при p–max(,R_j);

Чтобы определить, какое риспользовать в (2.8),необходимо ЛПР задать следующий вопрос: как Вы считаете: вариант iпо критериюk_j в целом (глобально) более важен (предпочти­тельнее), чем вариант lпо критерию k_s?

Отметим, что в качестве объектов и критериев в вопросе следует выбирать те, для которых ,a. В противном случае ответ на вопрос будет очевиден. Из (2.9)приa=0.5 следует:

.

Из ответа ЛПР на заданный вопрос следует:

,

т.е. можем определить верхнюю и нижнюю границы р.Задавая несколько раз подобные вопросы для разных объектов и критериев, можно установить границы параметрар. В рассмат­риваемом примере используем линейную ортогональную проекцию, тогда значения проекций равны (табл.2.3):

Таблица 2.3

Проекции рангов

Объекты	k1	k2	k3	K4
В1	1	2.25	2.75	4
В2	1.5	1.75	3.25	4.5
В3	2	3.75	1.75	3.5
В4	2.5	3	2.25	2.75
В5	3	3	3.75	2.75

На следующем этапе производится ранжирование вычислен­ных проекций, т.е. все элементы матрицырассматриваются как одно множество и по величинеони упорядочиваются. Результаты ранжирования обозначим через.

В табл. 2.4приведены результаты ранжирования для числового примера. Следует подчеркнуть, что процедура ранжирования проекций решает проблему агрегирования критериев.

На следующем, пятом, этапе производится ранжирование объектов по предпочтению. Для этого вычисляется:

(i=1,…,n), (2.10)

по значениям которых происходит упорядочение объектов.

Таблица 2.4

Ранжирование проекции и объектов

Объекты	k1	K2	k3	k4	ri
В1	1	6.5	10	19	36.5
В2	2	3.5	15	20	40.5
В3	5	17.5	3.5	16	42
В4	8	13	6.5	10	37.5
В5	13	13	17.5	10	53.5

Для рассмотренного примера rⁱ приведены в последней колонке табл.2.4. Соответственно порядок предпочтения объектов следующий: B¹B⁴B³B²B⁵.

Необходимо отметить, что данные результаты упорядочения следует рассматривать как предварительное решение задачи из-за необоснованности (2.10).Вместе с тем результаты ранжирова­ния объектов выдаются ЛПР для анализа. Если ЛПР удовлет­ворено полученным результатом, то процедура завершается, в противном случае переходим к следующему этапу.

На шестом этапе производится расчет коэффициентов пред­почтения. Предпочтение объекта iнад объектом l (C_i,l) можно оценить следующим образом:

. (2.11)

При вычислении C_i,l суммируются только положительные разности , тем самым суммируются разности рангов только по тем критериям, для которых .

Из (2.11)следует, что

.

Максимально возможная разность C_i,l - C_l,iравнат²(п-1). Чтобы коэффициент предпочтения (C_i,l) изменялся в интервале [0;1],коэффициентC_i,l нормируют:

C_i,l = C_i,l / [т²(п-1)].

Для рассматриваемого числового примера значения C_i,l приведены в табл.2.5.

Таблица 2.5

Коэффициенты предпочтения

Объекты	В1	В2	В3	В4	В5
В1	0.0	0.15	0.25	0.22	0.44
В2	0.05	0.0	0.28	0.09	0.40
В3	0.15	0.30	0.0	0.09	0.41
В4	0.16	0.47	0.13	0.0	0.27
В5	0.11	0.15	0.13	0.0	0.0

Чтобы лучше понять правила установления отношений между объектами, представим данные о C_i,lиC_l,iв виде точки на плоскости, как показано на рис. 2.8.

Чем ближе точка к оси абсцисс, тем больше разностьC_i,l - C_l,i, т.е. с большим основанием можно говорить, чтоВⁱ пред­почтительнееВ^l. И наоборот, чем ближе точка к оси ординат, темВ^l пред­почтительнееВⁱ.

Если разность C_i,l - C_l,i небольшая и сами коэффициентыC_i,lиC_l,iмалы, то между объектамиВ^l иВⁱ следует установить отношение безразличия. Чтобы сформулировать правила уста­новления отношений между объектами, введем следующие пороги:

 и (для определения отношения безразличия);

 > 0(для определения отношения предпочтения).

Между объектами Вⁱ иВ^l устанавливаются:

1. отношение безразличия (Вⁱ ~В^l), если |C_i,l-C_l,i|иC_i,lиC_l,i;

2. отношение предпочтения (Вⁱ В^l), если |C_i,l-C_l,i|>иC_l,i / |C_i,l-C_l,i|;

3. Вⁱ иВ^lнесравнимы (Вⁱ NВ^l), если между ними не установлены отношения предпочтения или безразличия.

Условие установления отношения предпочтения Вⁱ В^lможно переписать в следующем виде:C_l,iC_i,l∙/(1+), а дляВ^l Вⁱ– в видеC_l,iC_i,l∙/(1+).

Чтобы задать бинарные отношения между объектами доста­точно определить пороги и, порогвычисляется на основе ии равен(1+).

Порог можно задавать любым, причем чем меньше, тем более жесткое условие для установления отношения предпочтения.

Что касается порога , то он может принимать небольшое значение. Во-первых, чем меньше , тем с большей уверен­ностью можно устанавливать отношение безразличия. Во-вторых, при большихможет оказаться, чтоВⁱ~В^l, в то время как один из них доминирует другой. Предельный случай, когдаВⁱ может доминироватьВ^l:

, а.

Значит, для ограничение будет

 1 / [(n-1)m]. (2.12)

Если в исходном множестве нет доминируемых объектов, то ограничение (2.12)не обязательно.

Отметим важное свойство отношения предпочтения. Показано, что отношение предпочтения транзитивно.

Рассмотрев вопросы установления бинарных отношений между объектами, вернемся к блок-схеме метода (рис.2.7). На седьмом этапе ЛПР должно задать порогии, на основе которых строится матрица бинарных отношений.

Пусть в примере =0.06и=1.5,тогда между объектами устанавливаются бинарные отношения, приведенные в табл.2.6.

Варьируя порогами и, ЛПР может изменять связность графа предпочтения: при увеличенииувеличивается связность графа, причем все дуги, полученные при меньшем, остаются и к ним добавляются новые.

Если ЛПР не получило удовлетворяющее его решение, то целесообразно вернуться к первым этапам: ранжирование критериев (этап 2),выбор вида проекций (этап 3).

Таблица 2.6

Матрица бинарных отношений

Объекты	В1	В2	В3	В4	В5
В1	~			N	
В2		~	N		
В3		N	~	~	
В4	N		~	~	
В5					~

Разделы

Многокритериальные задачи

Функциии полезности

Оценка объектов по многоуровневой системе критериев

Решение МКЗ в условиях неопределённости