Формула для знаходження диференціала
справджується в усіх випадках: як тоді, коли u є незалежною змінною, так і тоді, коли u є функцією іншої незалежної змінної. В останньому випадку під множником du слід розуміти диференціал функції u.
З ауваження. Оскільки диференціал функції дорівнює добутку її похідної на диференціал незалежної змінної, то формули для знаходження диференціалів будуть такі самі, як і для знаходження похідних, якщо кожну з них помножити на dx.
5.2.4. Таблиця диференціалів
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
11.
.
12.
.
13.
.
14.
.
15.
.
16.
.
17.
.
З
найти
диференціал функції
.
З
найти
dy
з виразу
.
До обох частин рівності застосуємо операцію знаходження диференціала:
Звідси
.
З
найти
.
.
5.2.5. Диференціали вищих порядків
Диференціал
функції є також функцією незалежної
змінної, а тому його можна диференціювати.
Розглянемо функцію
.
Означення. Другим диференціалом функції у = f(x) називається вираз d(dy).
Позначення:
Аналогічно
дістаємо третій диференціал
і т. д. до диференціала n-го
порядку
.
Диференціал незалежної змінної dx не залежить від х, тому, диференціюючи dx за х, слід розглядати dx як величину сталу відносно х. Отже, приходимо до простих співвідношень між послідовними диференціалами і послідовними похідними:
(1)
З найти третій диференціал функції
.
Згідно з (1) дістаємо:
З
ауваження.
Формули (1) при
будуть неправильними в загальному
випадку, якщо змінна х
є функцією від незалежного аргументу
t.
Виняток становитиме випадок, коли х
є лінійною функцією незалежного
аргументу t
і
.
Справді, при незалежному аргументі х функції f(x) маємо:
.
Якщо у функції у = f(x) аргумент х є функцією змінної t, тобто х = (t), то dx вже залежить від t, і dx = (t)dt, тому при x = (t) дістаємо:
(2)
Розглядаючи вирази (1) і (2), доходимо висновку, що форма диференціала другого порядку не зберігається з переходом до складеної функції.