Геометрична ілюстрація

Рис. 5.9 Рис. 5.10

Функція нееластична (рис. 5.9).

Функція еластична

(рис. 5.10).

Властивості.

1. .

2. .

3. .

Еластичність елементарних функцій.

1. Еластичність степеневої функції стала і дорівнює показнику степеня : . Справді:

.

2. Еластичність показникової функції пропорційна до х: . Справді,

.

3. Еластичність лінійної функції :

.

Справді,

.

Якщо графік лінійної функції має від’ємний нахил (а < 0), то еластичність функції змінюється від нуля в точці y_m перетину графіком осі y до мінус нескінченності (– ) у точці перетину осі х, проходячи через значення (– 1) у середній точці. Отже, хоча пряма має сталий нахил, її еластичність залежить не лише від нахилу, а й від того, в якій точці х ми цю еластичність визначаємо (рис. 5.11).

Рис. 5.11

Функція з нескінченною еластичністю в усіх точках називається цілком еластичною, а з нульовою еластичністю в усіх точках — цілком нееластичною.

Застосування еластичності в економічному аналізі

В економіці розглядають кілька видів еластичності.

1. Еластичність попиту за ціною (пряма):

,

що виражає відносну зміну (у відсотках) розміру попиту на будь-яке благо зі зміною ціни цього блага на 1% і характеризує чутливість споживачів до зміни цін на продукцію.

Якщо цінова еластичність попиту за абсолютною величиною більша за одиницю, то попит називають еластичним (цілком еластичним у разі нескінченно великої еластичності попиту).

Якщо цінова еластичність попиту за абсолютною величиною менша від одиниці, то попит називають нееластичним (цілком нееластичним у разі нульової еластичності попиту). Схему, що ілюструє зазначену закономірність, зображено на рис. 5.12.

Рис. 5.12

І, нарешті, якщо цінова еластичність попиту за абсолютною величиною дорівнює одиниці, то говорять про попит з одиничною еластичністю.

2. Еластичність попиту за доходом:

,

що виражає відносну зміну (у відсотках) розміру попиту на будь-яке благо в разі зміни доходу споживачів цього блага на 1%. Додатна еластичність попиту за доходом характеризує нормальні (якісні) товари, а від’ємна — малоцінні (низькоякісні) товари.

Наприклад, високий додатний коефіцієнт попиту за доходом у галузі означає, що її внесок у економічне зростання більший, ніж частка у структурі економіки, і вона має шанси на розширення й розвиток у майбутньому. Навпаки, якщо коефіцієнт еластичності попиту на продукцію галузі за доходом має невелике додатне чи від’ємне значення, то на неї очікує застій і перспектива скорочення виробництва.

3. Перехресна еластичність попиту за ціною:

,

що характеризує відносну зміну (у відсотках) розміру попиту на одне благо в разі зміни ціни на інше благо (яке заміщує або доповнює його у споживанні) на 1%. Додатна перехресна еластичність попиту за ціною свідчить про заміщуваність благ, а від’ємна — про доповнюваність.

5.2. Диференціал

5.2.1. Поняття диференціала

Нехай функція у = f(x) диференційовна в інтервалі . З означення диференційовності маємо:

Звідси можна записати:

(1)

де функція при задовольняє умову

Із (1) для приросту функції дістаємо:

Покладемо, що .

Означення. Величина f(x)х називається диференціалом функції f(x) за приростом х.

Позначення:

Геометрична інтерпретація:

Диференціал є лінійним наближенням (апроксимацією) до приросту функції: . Наскільки менше , настільки краще наближення (апроксимація) (рис. 5.13).

Рис. 5.13

Н ехай . Знайдемо диференціал df(x) і приріст f(x) для і і порівняємо їх.

Рис. 5.14

1) ;

(рис. 5.14).

2)

.

. 

5.2.2. Правила обчислення диференціала

Правило 1. Нехай .

Тоді

або

Правило 2. Дано .

Тоді

Правило 3. Маємо , .

Тоді

. Знайти диференціал

 за правилом 3 маємо:



Правило 4. Якщо , , то

Правило 5. Якщо функція має обернену , то

.

Правило 6. Якщо функції задані у параметричному вигляді

, ,

то

.

З ауваження. Такі перетворення застосовують, виконуючи інтегрування функцій.

5.2.3. Інваріантність форми першого диференціала функції

Важлива властивість диференціала функції полягає в тому, що його вигляд лишається незмінним навіть у тому разі, коли переходять до іншої незалежної змінної.

 Справді, нехай у = f(x). Тоді диференціал цієї функції записується у вигляді

. (1)

Виконаємо заміну змінних u = (x). Тоді функція у = f(u) буде функцією від змінної х:

.

Обчислюючи диференціал цієї функції, дістаємо:

, (2)

або

. (3)

Вираз є диференціалом функції u, оскільки . Тому (3) можна подати у вигляді

.

Отже, ми повернулися до вигляду диференціала (1), який був записаний за припущення, що змінна u є незалежною. Маємо властивість диференціала, яка називається його інваріантністю: