Шпоры со всеми требованиями от Сумина / 27-31

27. Показательный (экспоненциальный) закон распределения, вычисление MX и DX

Опр. Непрерывная случайная величина Х имеет показательный (exp) з-н распред. С параметром λ>0, если ее плотность распределения вероятности имеет вид:

φ(х)=

Показательное распределение случайной величины Х обозначается так: Х~Е(λ)

Теорема1 Функция распред. Случайной величины Х, распределенной по показательному закону (exp) есть:

F(x)=

Ее матем ожидание MX= , а дисперсия DX=

Док-во При х<0 функ-ция распределения F(x)=0

При х≥0

F(x)=

Вычислим МХ и DX, применив интегрир. по частям:

28. Нормальный закон распределения, вычисление MX и DX

Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный з-н распределения (з-н Гаусса) с параметрами а и σ² ее плотность распределения вероятностей имеет вид

φ(x)=Нормальное Гауссово распределение с параметрами а и σ² обозначается так: Х~N(а,σ²)

Теорема1. Математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, равно параметру а этого закона, т.е МХ=а, а ее дисперсия равна параметру σ² : DX= σ²

Док-во: Вычислим МХ и DX по формулам МХ=DX=φ(x)dx3

МХ=dx

Произведем замену переменных, полагая t=,

Тогда x=a+σt ; dx= σdt пределы интегрирования не меняются, поэтому

МХ=

29. Понятие многомерной (двумерной) случайной величины и закон ее распределения

Очень часто результат испытания характеризуется не одной случайной величиной, а некоторой системой случайных величин Х₁,…Хn, которую называют так же многомерной случайной величиной или случайным вектором =(Х₁,…Хn)

Примеры: 1. Успеваемость школьника характеризуется системой n случайных Х₁,…Хn-оценками по различным предметам, проставленными в дневник(за четверть, полугодие или год)

2. Погода в данном месте в определенное время суток может быть охарактеризована системой случ. Величин: Х₁-температура, Х₂-давление,Х₃-влажность, Х₄-скорость ветра и т.д

Опред1. Упорядоченный набор (Х₁,…Хn) случ. величин Хi (i=1….n),заданных на одном и том же пространстве элементарных событий Ω наз n-мерной случ. величиной. Другими словами, многомерная (n-мерная) случ величина есть

=(Х₁,…Хn)=f(ω), т.е каждому ω∈ Ω ставятся в соответствие некоторые действительные числа Х1..Хn которые приняли

30.Функция распределения F(x, у) двумерной случайной величины. Свойства

Опред1. Функцией распределения двумерной случайной величины (XY), наз ф-ция F(x,y),которая для любых действительных чисел x и y равна вероятности совместного выполнения 2х событий (X<x) и (Y<y) т.е

F(X,Y)=F[(X<x)(Y<y)]

Замеч1 Геометрически ф-ция распред F(x,y), интерпретирует, как вероят-ть попадания случ. точки (X,Y) в бесконечный квадрат с вершиной в точке (х,у)лежащий левее и ниже этой вершины .

Св-ва функции распределения.

1.Ф-ция распределения F(x,y) ограничена, т.е

0≤F(x,y)≤1 Док-во:Т.к F(x,y)- по опред вероят-сть, то 0≤F(x,y)≤1

2. Ф-ция распредю F(x,y) не убывает по каждому из своих аргументов при фиксир другом, т.е F(x2,y)≥ F(x1,y); x2>x1; F(x,y2)≥ F(x,y1);y2>y1 Док-во:при увелич какого-либо из аргументов заштрихованная обл на рисунке увеличивается, значит вероятность попадания в нее случайной точки (XY)не может уменьшиться.

3.Если хотя бы один из аргументов обращается в -∞. То ф-ция распред F(x,y) равна 0, т.е

F(-∞,y)= F(x,-∞)= F(-∞,-∞)=0;

31 Плотность распределения вероятностей ф(х, у) двумерной случайной величины. Свойства

Опред1. Двумерная случ величина называется непрерывной, если ее фун-ция распред F(x,y) есть непрерывная ф-ция, дифференциальная по каждому из своих аргументов и существует вторая смешанная производная F’’_xy(x,y)

Опред2.Плотностью распред вероятностей (или совместной вероятностью) φ(х,у) НДСВ (X,Y) наз вторая смешанная производная ее ф-ции распределения φ(х,у)=(1)

Замеч1.Геометрически плотность распред вер-ти φ(х,у) НДСВ (X,Y)представляет собой в пр-ве некоторую поверхность, называемую поверхностью распределения.

Св-ва плотности распред. вер-тей:

1.Пл-ть распределения вер-тей двумерной случайной величины неотриц т.е φ(х,у)≥0

Док-во:Следует из того, что ф-ция распространения F(x,y) есть неубывающая ф-ция по каждому из своих аргументов.

2. Вероятность опадания случ. точки (Х,У)в область D равна двойному интегралу от плотность распределения вер-ти. Т.е

P((X,Y)∈D)=(2)

29. случ величины Х1…Хn в результате испытаний. В этом случае вектор =(Х₁,…Хn) называется реализацией случайного вектора Х=(Х1…Хn).Случ велич.X1…Xn могут быть как непрерывными, так и дискретными. .На практике чаще приходится встречаться с двумерными случ. велич. Поэтому ограничимся их рассмотрением, хотя хотя все положения. Касающиеся их могут распространяться и на многомерные (n-мерные) случ величины.

Опред2 Упорядоченная пара (X,Y)двух случайных величин X и Y наз двумерной случ величиной или системой двух одномерных случ величин X и Y.

Полной характеристикой системы (X,Y) является ее з-н распределения, устанавливающий связь между возможными значениями пары случайных величин и их вероятностей. Так. З-н распределения ДДСВ(X,Y) молжно задать формулой p_ij=P[(X=x_i)(Y=y_j)] i=1,…,n; j=1,..,m или в виде таблицы.

28. (первый интеграл равен 0,как интеграл от нечетной ф-ции в симметричных пределах, 2-ой интегр

DX=φ(x)dx=

dx делаем ту же замену

t=,, получаем

DX=применяя интегрирование по частям получаем

DX=

Замечание1 Нормальный з-н распред. случ. Величины Х с параметрами а=0 , т.е Х~N(0,1)наз. стандартным или нормированным

Зам. 2Для нормального распред. случ. велич. Х~N(а,σ²) действ правило «трех сигм»

P(|X-a|/3σ)≈0.997

27. МХ=+

Для нахождения DX=MX²–(MX)² вычислим:

MX² =

Тогда DX=MX²-(MX)² =

31. .Док-во Элемент вероятности

φ(х,у)dxdy≈P[(x≤X≤x+∆x)(y≤Y≤y+∆y)] представляет собой вероятность попадания случайной точки (X,Y) в прямоугольник со сторонами dx dy. Разбив обл D на такие же прямоуг-ки и применив к каждому из них приближенное равенство по теореме сложеия вер-тей получаем ф-лу (2)при стремлении к 0 площадей элементарных прямоугольников(dx→0, dy→0)

3.Ф-ция распр вер-тей двумерной случ величины может быть выражена чере ее совместную плотность по ф-ле

F(x,y)= Док-во. Выр ф-ции распред случ величины (X,Y) через плотность распред вер-ей φ(х,у) можно получить из формулы (2)(область – есть прямоуг, огранич абсциссами -∞, х, и окдинатами -∞,у)

F(x,y)= P[(X<x)( Y<y)] = P[(-∞<X<x)(-∞<Y<y)] =

4.Услов. нормировки

Док-во.Полагая в ф-ле (3) х=у=+∞ и учитывая, что F(+∞,+∞)=1 получим

F(+∞,+∞)=

30. Док-во:События (х<-∞) и (у<-∞)и их произведения невожможные попадания в квадрат с отодвинутой в -∞ границей невозможно, поэтому вероятность такого события равна 0.

4.Если оба аргумента обращаются в +∞, то F(x,y) равна единице , F(+∞,+∞)=1 Док-во. Событие (х<+∞) и (у<+∞)достоверно, потому что его вероятность =1

5.Если один из аргументов обращается в +∞. То ф-ция распр системы 2х случ величин становится ф-цией распр случ величины, соответсв. Дргому аргументу, т.е F(x,+∞)=F1(x)=Fx(x), F(+∞,y)=F2(y)=Fy(y), Док-во Событие (x<+∞) достоверное, потому что [(x<+∞)(Y<y)]=(Y<y) и F(+∞,y)=[(X<+∞)(Y<y)]=P(T<y)=F2(y)

6. Ф-ция распредю F(x,y) непрерывна слева по каждому из своих аргументов, т.е ),) Док-во: выберем последовательность сходится к Обозначим через событиеА={}

Тогда ясно, что c при i>j и По аксиоме нерперывности lim(P(=lim(F()-F())=F()- F()=0 т.е )

29.1

p_ij как сумма вероятн. Полной группы несовместных событий [(X=x_i)(Y=y_j)] равна 1 .

Зная з-н распределения ДДСВ (X,Y) можно найти з-ны распред каждой из компонент (обратное неверно) Px1=P(X=1)=p11+p12+p1m следует из теоремы сложения вер-ей [(X=x₁)(Y=y₁)],..[(X=x₁)(Y=y_m)]

30.1

Следствие1 С помощью ф-ции F(x,y) можно легко найти вероятность попадания случайной точки(ХУ) в прямоугольник D={(x,y);x1≤x≤x2, y1≤y≤y2} со сторонами параллельными координатным осям: P[(x1≤x≤x2)(y1≤y≤y2)]=F(x2,y2)-F(x1,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1) , без док-ва

31.1 Замеч2 Геометрически. Св-во 4 означает, что объем ограниченный поверхностью распределения и плоскостью OXY равен 1

5.Плотностью распред. одномерных составляющих двумерной случайной величины (X,Y)могут быть найдены по формуле и

Док-во:найдем ф-ции распред одномерных составляющ.X иY, зная плотность распред вер-ти двумерной случайной величины (X,Y) F1(x)= F(x,+∞)=

F2(y)= F(+∞,y)=

F1(x)= F2(y)= Дифференцируя 1-е рав-во по х, 2-е по у, получ плотность распред вер-тей случ велич Х и Y

φ1(х)=F1(x)= φ2(y)=F2’(y)=

Замеч3.Решение обратной задачи невозможно в общем случае.