Шпоры со всеми требованиями от Сумина / 21-26

21. Моменты случайных величин.

Кроме матем ожидания и дисперсии в теории вер-ти применяется еще ряд числовых характеристик, отражающих те или иные черты случ величин.

Опред.1 Начальным моментом порядка k случ величины Х называется математическое ожидание случ величины Х^k. ν_k=MX^k, kϵN.

Опред.2 Центральным моментом случ величины Х называется математич ожидание случ величины (X-MX)^k; µ_k=M (X-MX)^k, kϵN.

Табл.1(здесь MX=a )

Приведем в табл1 ф-лы для вычисления моментов (нач и центр) для дискретных и непрерывных случ величин.

22. Производящая функция целочисленной случайной величины, вычисление с ее по­мощью математического ожидания MX я дисперсии DX.

Опред1 Ф-ия от параметра , равная математическому ожиданию e^tX, называется производящей фукцией случ велич Х

1. m_x(t)=M e^tX

Производящая ф-ия m_x(t) содержит в себе сведения о всех начальных моментах, т.е. по ней можно определить ф-ию распределения, содержащую все сведения о случ величине.

В этом смысле производящая ф-ия и ф-ия распределения явл. эквивалентными обобщающими характеристиками случ. величины.

Св-ва производящей ф-ии.

1. Если m_x(t) – проиводящая ф-ия случ. величины, то произв. ф-ей величины cX (c-const) будет m_cx(t)= m_x(ct).

2. Производящая ф-ия суммы независимых случ. величин X₁,X₂,…,X_n равна проиведению производящих ф-ий этих величин (t)=.

3. Начальные моменты k-го порядка случ. величины Х равны значениям k-ой производной от ф-ии m_x(t) в точке t=0 ,т.е. ν_k=(0), kϵN.

Изучим подробнее производящую ф-ию для целочисл. случ. величины, принимающей лишь целые неотрицательные значения 0,1,2,3.. k

23.Биномиальный закон распределения, вычисление MX и DX.

Опред1 ДСВ Х имеет биномиальный з-н распределения с параметрами n и p если она принимает значения 0,1,2,.., m,..,n с вероятностью =P(X=m)=, где 0<p<1, q=1-p

Как видно вероятности P(X=m) находятся по ф-ле Бернули, получ. ранее.

Ряд событий биноминального з-на имеет вид

Очевидно, что определ. биномин. з-на корректно, т.к.

+..=

===1

Ф-ия распределения ДСВ Х, распределенной по биноминал. з-ну, имеет вид

F(x)=

Найдем числовые характеристики MX и DX этого распределения. Производящая ф-ия биноминального распред. имеет вид:

24. Закон распределения Пуассона, вычисление MX и DX

Опред 1 ДСВ Х имеет з-н распределение Пуассона с параметром λ>0, если она принимает значения 0,1,2,.., m,.. (∞, но счетное мн-во) с вероятностями

=P(X=m)= =

Ряд распред Пуассона имеет вид:

Найдем числовые хар-ки MX и DX этого распределения. Производящая ф-ия распред. Пуассона имеет вид:

25. Геометрическое распределение, вычисление MX и DX. Гипергеометрическое рас­пределение

Опред.1 ДСВ Х имеет Геометр Распредел с параметром p, если она принимает значения 1.2…m(∞, но счетное мн) с вероятностями =P(Х=m)=p 0<p<1; q=1-p

Ряд геометрич распред имеет вид:

Определение геометрич распред корректно, т.к.

=+..==

Отметим что СВ Х=m имеющая ГР представляет собой число m испытаний проводимых по схеме Бернули с вероятностью p наступления события в каждом испытании до первого положительного(отрицательного) исхода.

MX=; DX=

Примеры:- Число выстрелов до 1го попадания.

- Число испытаний прибора до 1го отказа.

- Число бросаний монеты до 1го попад решки.

26. Равномерный закон распределения, вычисление MX и DX

Опред.1

НСВ Х имеет равномерный(прямоуг) закон распределения на [а,b] если ее плотность распределения имеет вид

φ(x)=

Pавномерное распределение случ величины Х на [a,b] (или (a,b] или [a,b)) обозначается так: Х~R[a,b].

Теорема 1.

Функция распределения случ величины Х распред . по равномерному з-ну, есть

(x)=

Ее математ ожидание MX=,

Дисперсия DX=

23.

φ(t)====(q+pt)ⁿ

тогда =np(q+pt)^n-1, = n(n-1)p²(q+pt)^n-2

отсюда MX= n, т.к. t+q=1

найдем = n(n-1)p²(q+p)^n-2= n(n-1)p², тогда

DX=+.

22.

Пусть ДСВ принимает значения 0,1…k c вероятностями , .. В этом случае выражение для производных функции имеет вид (t)=φ(t)=Mt^X= (2)

Где t-параметр,-1≤t≤1. Отметим, что при≤1степенной ряд (2)мажорируется сходящимся числовым рядом =1

Дифференцируя по tпроизводящую функцию, получим =, тогда = = т.е. MX=

Взяв 2-ую производную ф-ии φ(t) и положив в ней t=1, получим

=, =-=

Тогда DX=MX²-(MX)²==+=+-(1),

Т.е. DX=+-(1)

21.

Математ ожидание и дисперсию случ величины Х можно выразить через начальные моменты первого и втор период

MX

DX=MX²-(MX)²=

Из определения (2) следует, что

µ₁=M (X-MX)=M(X-a)=MX-Ma=a-a=0

µ₂=µ (X-MX)²=DX=

Аналогично можно вычислить

µ₃=-3+2

µ₄=-4+6-3 и т.д.

Замечание1. Выше отмечено, что математическое ожидание MX или 1-ый начальный момент характеризует среднее значение или центр. распределения случ величины Х на числовой оси дисперсиям или 2-й центр момент µ₂ степени рассеиванияраспределения Х относительно MX. 3-й центр момент µ₃ служит для характеристики ассимметрии скошенности распределения, 4-й центр момент µ₄ служит для хар-ки крутизны или пологости распределения.

26.

Док-во

При x<a ф-ия распредел F(x)=0; при F(x)=;

F(x)===1

Вычислим MX и DX

MX=

DX=.

25.

Опред.1 ДСВ Х имеет ГР с параметрами n, N, M если она принимает значения 0,1,2,…,m,.. min(n,N) с вероятностями

M≤N; n≤N; n,M,N∈N

Гипергеометрич распред имеет случ величина - число обьектов, обладающих заданными свойтсвами среди n обьектов, случайно извлеченных из совокупности N объектов, M из которых обл. этими же св-ми.

Теорема 1

Математич ожидание случ величины Х, имеющей гипергеом. распред-е с параметрами n, N, M равно MX=n, ее дисперсия равна DX=n

Без док-ва.

24.

==== =

Тогда =, =

Отсюда MX= (1)=

Найдем (1)=, тогда (1)+ (1)-=

Итак, для распредел Пуассона