Шпоры со всеми требованиями от Сумина / 1-5

1. Случайные события. Примеры.

Опыт, эксперимент, наблюдение - называется испытаниями

Пример: бросание монеты, выстрел из винтовки, бросание игровой кости.

Результатом испытания – называют событием. Событием является выпадение орла или решки, попадание в мишень или промах, появление того или иного числа очков при бросании игровой кости.

Опр1. Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытание.

Пример. Испытание: Однократное бросание игровой кости. Событие А={выпадение их очков}, Событие В={Выпадение четного числа очков}. Событие А и В совместные.

Опр2. Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании

Пример 2. Испытание: однократное бросание монеты. Событие Событие А={выпадение орла} и соответственно Событие В={выпадение решки} несовместимы, т.к. появление одного из них исключает появление другого.

Пример 3. Испытание: однократное бросание игральной кости. События А₁, А₂,…, А₆={соответственно выпадение одного, двух,..., шести очков} являются попарно несовместными.

2. Множества и операции над ними. Диаграммы Эйлера-Венна.

В теории множеств для подмножеств, основного множества вводятся операции, иллюстрирующие диаграммами Эйлера-Венна.

1.Операция сложения. (объединения)

АUB 2-x подмножеств А и В множества наываются множеством составленное из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В.

2.Операция произведения (пересечения)

АB 2-x подмножеств. А и В множества называтся множество состоящее из элементов принадлежащих и множеству А и множеству В.

3.Дополнение

Дополнением А(А наз. множество состоящее из элементов не принадлежащих АU=

4.Разность

А\В –называется множество элементов входящих в А, но не входящих в В

3. События и операции над ними.

Введем основные операции над событиями. Они полностью соответствуют основным операциям над множествами и их свойствами.

Определение 1 Суммой события А и В называется событие

С= АUB(C=A+B) состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А и В

Пример 1. Испытание: стрельба двух стрелков ( каждый делает по одному выстрелу) по мишени. Событие А={попадает в мишень первый стрелок}, событие В={попадает в мишень второй стрелок}.

Суммой событий А и В будет событие С=А+В, состоящее в попадании в мишень по крайне мере одним из стрелков.

Аналогично суммой конечного числа событий А₁, А₂, …,А_n называется событие А=А₁+ А₂+…+А_n состоящее в наступлении хотя бы одно из событий А_i(i=1,…,n)

Определение2 Произведение событий А и В называется событие С=А (C=A*B) состоящее в том, что в результате испытания произойдет событие и А и В

Аналогично, произведение конечного числа событий А₁, А₂, …,А_n, называется событие А=А₁* А₂*…*А_n, состоящее в том, что в результате испытания происходят все данные события.

Пример2. В условиях примера 1 произведением событий А и В будет событие С, которое есть С=А*В, состоящее в попадании в мишень одновременно обоими стрелками.

Для определения противоположного события и разности событий определить равносильность событий.

4.Классическая схема теории вероятностей. Классическое определение вероятности.

Определение 1. Классической схемой теории веротности называется такая вероятностная схема, которая удовлетворяет следующим условиям:

1. Событий ( исходов испытания) конечное множество.

2. События попарно – несовместимы.

3. Событие равновозможные.

Определение 2. Говорят, что события образуют полную группу событий при данном испытании, если его результатом является обязательно одного из них.

Прмиер 1. Примеры полных групп событий:

А) Выподение орла или решки при однократном бросании монеты.

Б) Попадание в цель и промах при одном выстреле винтовки.

В) Выпадение одного,2,3,4,5,6 очков при однократном бросании игральной кости.

Определение 3. События … образуют полную группу попарно несовместных и равновозможных событий, называются элементарными событиями.

Множество Ω = Ω(…) пространство элементарных событий.

Определение 4. Событие А называется благоприятствующим событию В, если А влечет за собой В

Определение 5. (Классическое определение вероятности.)

Вероятностью P(A) события А называется отношение числа событий m, благоприятствующих событию А к общему числу элементарных событий n:

P(А)= (1)

5. Геометрическая вероятность. Относительная частота. Статическое определение вероятности.

В классическим определении вероятность предпологает, что число всех элементарных событий конечно. Но на практике часто встречаются опыты, для которых множество элементарных событий бесконечное.

Пример 1. Пусть дана числовая ось с равномерной целочисленной шкалой. Поместим в начало координат частицу, и включим метроном. Поставим условие, что с каждым ударом метронома, частица с вероятностью ½ может переместиться в одну из 2-х соседних. Какова вероятность того, что блуждающая частица когда нибудь снова вернется в исходную точку.

Решение. Задача сводится к симметричному блужданию частицы по одномерной решетке. Множеством возможных событий явл-ся мн-во бесконечных последовательностей типа ₁, ₂,…,_n,.. состоящих из символов +1 и -1. Это мн-во бесконечное. Множество благоприядствующих событий случаев также бесконечное. Например, благоприятствующих движению будет (1. -1, любая последовательность)

Пусть событие А={частица снова возвращается в исходную точку}. По классическому определению вероятности получаем неопределенность , т.е. вероятность не определена.

Таким образом, классическое определение вероятности нельзя применить к опыту с бесконечным числом равновероятных исходов. Для описания понятия геометрической вероятности обозначим меру (длина,площадь, объем) области через mes.

Определение1 Геометрической вероятностью события А называется мера обл D, благоприятствующей появлению события А к мере всей обл Ω. P(A)=

5.3

Свойство2 События должны обладать так называемой статистической устойчивостью или устойчивостью частоты. Это означает, что в различных сериях испытаний относительная частота колеблется около некоторого постоянного значения.

Свойство 3. Число испытаний, в результате которых появляется событие А, должно быть достаточно велико. Отметим, что при увеличении числа испытания n (n) относительная частота (А) события А приближается к значению вероятности Р(А), т.е. Р*(А)=(А)

3.

Рассмотрим 2 события А и В, с опытом . Говорят что соб. А влечет за собой событие В, если из наступления соб. А следует наступление соб В. Предположим, что из наступления соб А след наступление соб В (АВ), а из наступления соб В следует наступление соб. А

(В А). В этом случае говорят, что событие А и В равносильны и записывают, что А=В.

Пример 3. Испытание: однократное бросание игральной кости. Событие А ={выпадение 2 –х очков}, соответственно событие В ={выпадение четного числа очков}. Ясно, что событие А влечет за собой событие В.

Пример 4. Испытание: боксер участвует в состязании. Событие А ={боксер получает в лоб}, событие

В ={боксер получает по лбу}. Поскольку все равно, что «в лоб», что «по лбу», то А=В, т.е события А и В равносильны.

Определение 3 Соб B противоположное соб А называется соб (B=) равносильное не наступлению соб А. Соб называется также дополнительным к событию А.

Пример 5. Испытание: однократное бросание игральной кости. Событие А ={выпало шесть очков}, тогда ={выпало меньше шести очков}, т.е. 1,2,3,4 или 5 очков.

Определение 4 Разностью событий А\B (А-B) называется событие, равносильное наступлению события А и не наступлению события B.

Пример 6. Испытание: двукратное бросание игральной кости. Событие А={сумма выпавших очков при обоих бросаниях равна 7}, событие В={количество очков при втором бросании является четным}. Тогда событие А\В есть набор следующих вариантов:

1-е бросание:2, второе бросание:5

Или 1-е бросание:4, второе бросание:3 или 6 и 1.

2.

Свойства объединения, произведения и дополнения.

Коммутативность АUВ=BUА АВ=В

Ассоциативность. (АUВ)UC=АU(ВUС) (АВ)C=А (ВС)

Идемпотентность АUА=А А

Дистрибутивность А (ВС)=(А B)U(А ) АU (ВС)=(А B) ∩ (А )

АU0=А А АU= А

Инволюция (законы де-Моргана)

1.

Опр3. Два события А и В называются противоположными если в одном испытании они несовместны и одно из них обязательно произойдет (А противоп. )

Пример 4. Испытание: однократное испытание монеты. Событие А={выпадение орла}, событие В={выпадение решки}. Событие А и В являются противоположными.

Определение 4 Событие называется достоверным, если в данном испытании оно единственно возможно. Невозможно если в данном испытании оно заведомо не может произойти.

Пример 5. Испытание: извлечение шара из урны, в которой все шары белые. Событие А={вынут белый шар}-достоверное событие В={вынут чёрный шар}- невозможное событие. Заметим, что в данном испытании достоверное и невозможное событие являются противоположными.

Определение 5 Событие называется случайным, если в данном испытании оно объективно может произойти, а может не наступить.

Пример 6. Испытание: однократное бросание игральной кости. Событие А={выпадение 6-ти очков} является случайным.

5.

Относ частота.

Существует большой класс событий, вероятность которых не может быть вычислена с помощью классических определений вероятности. В первую очередь это события которые не являются равновозможными исходами испытания.

Пример 2. Испытание: бросание деформированной монеты. В данном случае монета не является математической, поэтому события {появление орла}, {Появление решки} при подбрасывании монеты нельзя считать равновозможными. (в этом случае монета может выпасть на «ребро»), поэтому формула классической вероятности оказывается неприменимой. Но есть другойподход при оценки вероятности событий, основанный на том насколько часто будет появляться данное собитие в произведенных испытаниях. В этом случае используют статистическое определение вероятности.

Определение2 Статистической вероятностью события А (часть того события А) называется относительная частота появления этого события в общем числе произведенных событий. где число испытаний в котором появилось событие А n общее число испытаний.

Замечание 1. В отличии от классической вероятности D(A) статистическая вероятность является характеристикой опытной, эксперементальной. Отметим, что статистическое опрделение вероятности применимо не к любым событиям с неопределенным исходом, а только к тем из них, которые обладают определенным свойством

В результате от P(A)(классич) -опытн. величина.

Свойство1 Рассмотриваемые события должны быть исходами тех испытаний, которые могли быть воспроизведены неограниченное число раз при одном и том же комплексе условий. Это означает, что в различных сериях испытаний относительная частота события изменяется незначительно (тем меньше, чем больше число испытаний), колеблясь около постоянного числа.

4.

Теорема 1 Если событие А влечет за собой событие B то вероятность события А не превосходит вероятности события B P(А)≤ P(B)

Док-во. Т.к каждый результат испытания благоприятствует событию А, благоприятствуя событию В, то число благоприятствующих событию А результатов ≤ числа благоприятствующих событию В результатов P(А)≤ P(B)

Определение 6. Будем говорить, что событие А=ВUС подразделяется на частные случаи событий B и C (А,В,С∁Ω) Если B∩C=∅ т. е B и C несовместны.

Теорема 2. (Теорема сложения) Если событие А подразделяется на частные случаи событий В и С (А,В,С∁Ω) то P(А)=P(B)+P(C) Док-во. А=BUC, значит P(A)=P(BUC) пусть события В и С благоприятствуют соответственно и результатов опыта, так что P(B)= P(C)= Поскольку В и С несовместны то BUC благоприятствует ровно () результатов опыта -> P(А)=P(B)+P(C) Следствие Если событие А подразделяется на частные случаи событий .. (т. е. А=) и () то вероятность событий А складывается из вероятностей событий : P(А)=

Теорема 3 Вероятность опыта (пространства элементарных событий) Ω=1 P(Ω)=1

Док-во. Опыту Ω благоприятствует все его n результатов -> P(Ω)==1

Теорема 4 Вероятность события противоположного событию А P()=1-P(A)

Док-во. Т. к и A несовместны -> АU = Ω->P(Ω)= P()+P(A)-> P()=1-P(A) (Ω-подразделяется на частные случаи А и )

Теорема 5 Вероятность невозможного события =0 P(∅)=0 Док-во ∅-дополнительное к достоверному системы Ω P(0)=1-P(P(Ω)=0

Теорема 6. Для любого допустимого события А выполняется 0≤P(А)≤1

Док-во Для ∀ события А имеет место неравенство 0<0UА=А=А∩Ω< Ω 0=P(0)≤P(А)≤ P(Ω)