Шпоры со всеми требованиями от Сумина / 6-10

6. Элементы комбинаторики. Размещения, перестановки и сочетания в схемах

слу­чайного выбора без возвращения и с возвращением. (ч.1)

Пусть , i=1,k элементы некоторого конечного множества

1. Правило суммы.

Если элемент можнет быть выбрать способоми, элемент можно выбрать другими способами, и т.д способами, отличными от первых (k-1), то выбор одного из элементов или ,…, или может быть осуществлен способами.

2. Правило умножения.

Если элемент можно выбрать способами, после такого выбора элемент может быть выбран способами,…, после каждого (k-1) выбора элемент может быть выбран способами, то выбор всех элементов в указанном периоде может быть осуществлен способами.

Существует две схемы выбора m элементов из исходного множества

1. Без возвращения (повторения)

2. С возвращением (повторением)

Схема случайного выбора без возвращения:

Число размещений из n элементов по m элементам равно:

=

Пример 1. Составить различные размещения из трех элементов по два элемента множества D={a,b,c} и подсчитать их число. Размещения: (а,b), (a,c), (b,c), (c,a), (b,a),(c,b). Ии число равно

6.(ч.3)

Пример 5. Из 3-х элементов мн-ва D{a,b,c} составить все сочетания по 2 элемента с повторениями и подсчитать их число.

Сочетания: (a,b), (a,c), (b,c), (a,a), (b,b), (c,c). Их число равно: 6=====6.

Число перестановок из n элементов с повторением:

где n=

Пример 6. Сколько различных 5-ти значных чисел можно составить из цифр 3,3,5,5,8-?

Решение: здесь n₁=2; n₂=2; n₃=1. n₁+n₂+n₃=5; следов-но P₅(2,2,1)=3*2*5=30

7. Аксиоматическое построение теории вероятностей. Борелевское поле событий,

ве­роятностное пространство. (ч.1)

Отправным пунктом аксиоматики явл-ся непустое множ-во Ω=Ω(), называемое простр-вом элементарных событий, а его элементы ω₁,…, - элементарными событиями.

Событием А{} тогда назовем любое подмножество множества Ω

Будем рассматривать некоторые семейства подмножеств множества Ω. Указанное семейство подмножеств F множества Ω называется борелевским, если

1. В F есть хотя бы один элемент (даже невозможное событие ∅)

2. Если А∈F, то

3. Наряду с конечными или счетными множествами события ∈ F, борелевскому полю F принадл. всевозможные суммы и произведения

Замечание 1. Отметим, что если Ω=Ω(ω₁,…,ω_n)-простр-во элемент. событий, то σ-алгебра F содержит все 2ⁿ подмножеств {ω_l1, ω_l2,…,ω_l3) ∈Ω

Лемма1 Всякое F содержит достоверное событие Ω Док-во По треб. 1 существует

хотя бы один элемент А, по треб.2 , тогда событие Ω= А∪ ∈F по треб. 3

Лемма2 Всякое F содержит невозм. событие ∅ Док-во Коль скоро Ω∈F(согласно лемме 1), то невозможное событие ∅=Ω∈F по треб. 2

7.(ч.3)

событий есть невозможное

событие, т.е.

Определение2 Измеримое прост-во (Ω,F ) вместе с опред. на σ-алгебре функцией P(A) удовлетворяющее аксиомам 1-4 называется вероятностным пространством (Ω,F, P)

Следствие1 Вероятность невозможное события ∅∈F=0

Док-во: Т.к. Ω=∅∪Ω и ∅∩Ω=∅(несовместные события), то Р(Ω)=Р(∅∪Ω)=Р(∅)+Р(Ω)=1 след-но Р(∅)=0

Следствие2 Для ∀ события А∈F справедливо: P()=1-P(A)

Док-во: Т.к. А∪=Ω и А∩=∅, то Р(Ω)=Р(А∪)=Р(А)+Р()=1 след-но Р()=1-Р(А)

Следствие3 Каково бы ни было событие А∈F: 0≤P(A)≤1

Док-во: Согласно аксиоме 1 Р(А)≥0. Далее Р(А)+Р()=1, но Р()≥0 след-но 1-Р(А)≥0, т.е. Р(А)≤1

Следствие4 Если событие А∈F влечет за собой событие B∈F, то P(А)≤P(B)

Док-во: Пусть АϲВ. Запишем В\А=∩В (рис.1). Очевидно, что В=(В\А)∪А, т.к. события В\А и А несовместные,то Р(В)=Р((В\А)∪А)=Р(В\А)+Р(А), т.к. Р(В\А)≥0, то Р(В)-Р(А)≥0, т.е. Р(А)≤Р(В)

Следствие5 Если события А и В ∈ F, то P(А∪B)=P(А)+P(B)-P(А∩B)

Док-во В суммах А∪B=A∪(B\A∩B), B=A∩B∪(B\A∩B) слагаемые явл. Несовместными событиями, поэтому по аксиоме 3 имеем: P(А∪B)=P(A)+P(B\A∩B) P(B)=P(A∩B)+P(B\ A∩B), отсюда, вычитая почленно из 1-го равенства 2-ое, получим: Р(А∪В)- Р(В)= Р(А)-Р(А∩∩В) или Р(А∪В)= Р(А)+Р(В)-Р(А∩В)

8.Условная вероятность события. Независимые события (ч.1)

В ряде случаев приходится рассматривать вероятность события А при дополнительном условии, что произошло другое событие В. Такую вероятность будем называть условной и обозначать P(A|B) или . Это означает вер-ть события А при условии, что событие В уже произошло.

Нетрудно вывести ф-лу для условной вер-ти в рамках классич. Теории вер-тей. Пусть с опытом Ω связаны элементы события Пусть событие А благопр. m событиям из этой группы, событие В (не являющ-ся невозм) благопр. к событиям. Событие А∩В=АВ благоприятствует r событий (r≤m, r≤k)

Если событие В произошло, то наступило одно из к событий, благопр. В При условии наступления события В событие А благоприятств. r событий P(A|B)= (1). Точно также если событие А не явл. невозможным, получаем: P(B|A)= (2)

Теорема1 Умножение вероятностей. Вероятность произведений 2-х событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность друго, найденную в предположении, что первое событие уже наступило.

Док-во: умножая правую и левую части равенств (1) и (2) соответственно на Р(В) и Р(А), получим: P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)

Замечание 1. В случае, если Р(А) или Р(В)=0 соответствующие фор-лы (1) и (2) для условной вер-ти не имеют смысла, ибо события А и В явл. невозможными, однако теор. умножения вер-тей

9. Формула полной вероятности. Формулы Байеса. (ч.1)

Следствием 2-х основных теорем теории вер-тей - теор. сложения и теор. умножения явл. формула полной вер-ти и фор-лы Байеса.

Фор-ла полной вер-ти.

Теорема1 Вероятность события А, которое может наступить при условии появления одного

из n событий(гипотез) Н₁, Н₂,…,Н_n, образующих полную группу попарно несовместных событий равна: P(A)=

Док-во: Событие А может наступить лишь при условии наступления одного из событий(гипотез) Н₁, Н₂,…,Н_n, образующих полную группу т.е. А=А причем ввиду несовместности соб. Н₁,…,Н_n, события Н₁А, Н₂А,…, Н_nА также несовместны, поэтому на основании теорем слож. и умн. Вер-тей можно записать

P(A)=P( АH₁+АH₂+..+АH_n)=P(АH₁ )+P(АH₂ )+..+P(АH_n )= P(H₁ )P(A│H₂)+…+ P(H_n )P(A│H_n)

Формула Байеса. Следствием теоремы умножения и формулы полной вер-ти явл-ся фор-лы Байеса. Эти фор-лы применятся, когда событие А, которое может появиться с одним из событий (гипотез) ,…,Н_n , произошло и необходимо произвести конечную переоценку априорных (до опыта) вероятностей P(), P(),…, P(), т.е. необходимо найти апостериорные (после опыта) условные вероятности P(|А), P(|А),…, P(|А).

Для получения искомой формулы запишем теорему умножения вероятностей событий А и Н_i(i=1,…n) в 2-х формах: P(A)=P(A)P(, откуда

P(

10. Теорема Бернулли. (ч.1)

Теорема1 Если вероятность Р наступления события А в каждом испытании постоянна, то вероятность P_n(m) того, что событие А наступит m раз в n независимых испытаниях равна P_n (m)= q=1-p (1)

Док-во Пусть события и {появление или непоявление события А в i-ом испытании}

i=1..n; соб. B_m={в n независимых испытаниях событие А происходит m раз} Представим событие B_m через соб. А_i (i=1,…,n)(элементарные события в схеме Бернулли). Например при n=3 m=2 событие B₂ можно записать в следующем виде: : =.

В общем случае событие В запишется так:

.. (2)

Число всех комбинаций(слагаемых суммы (2)) равно числу сочетаний . Вероятность каждой такой комбинации по теореме умножения вероятностей равна P(, P()=1-p, i=1,…,n

В связи с тем, что указанные комбинации между собой несовместны, по теореме сложения вероятностей получим:

Пример 1. Вероятность изготовления на автоматическом станке стандартной детали равна 0,8. Найти вероятность появления возможного числа бракованных деталей (m=0,1,2,3,4,5) среди 5-ти отобранных деталей.

Решение: искомые вер-ти находим по фор-ле Бернулли:

7.(ч.2)

Определение1 Мн-во Ω вместе с выдел. в нем борелевским полем событий F назыв. измеримым пр-м. Будем обозначать ( Ω, F)

Замечание 2. Отметим, что если Ω-конечное множ-во, то совокупность всех подмножеств Ω, включая и пустое множ-во ∅ и само множ-во Ω, образует Борелевское поле событий F.

Пример 1. Бросание игральной кости. Множ-во элемент. событий состоит из 6-ти элем. ω₁, ω₂,…, ω₆, где событие ω_i(i=) означает выпадение i очков. Борелевское поле событий состоит из 2⁶=64 (1+=7+15+90+15+6+1=64) элементов: ∅, {ω₁}, {ω₂},…, {ω₁ω₂},…, { ω₅ω₆}, {ω₁ω₂ω_3},…,{ ω₁ω₂ ω₃ω₄ ω₅ω₆}=Ω

Аксиомы, опред. вероятность.

А1 Каждому событию А∈F ставится в соотв. неотрицательное число P(А), назыв.

вероятностью (т.е. P(А)>0)

А2 Вероятность достоверного события Ω принадлеж. F равна 1

А3 Если конечное или счетное множество событий ∈F попарно несовм. то

P()=P(

А4 Если последовательность событий А₁,…, ∈F такова, что каждое последующее влечет за собой предыдущее, т.е Ɔ Ɔ… и произведение всех

6.(ч.2)

Общее число перестановок P_n из n элементов равно: P_n=A_nⁿ==n!

Пример 2. Составить различные перестановки из 3-х элементов мн-ва D={a,b,c} и посчитать их число.

Перестановки: (а,b,с), (а,с,b), (b,a,c), (b,c,a), (c,a,b), (c,b,a). Их число равно: 6-Р₃=3!=6.

Число сочетаний из n элементов по m элементам: ==

Пример 3. Сост. различные сочетания из 3-х элем. по 2 элем. мн-ва D{a,b,c} и посчитать их число.

Сочетания: (a,b), (b,c), (c,a). Их число равно: 3====3

Отметим разницу между размещениями и сочетаниями : в размещениях учитывается порядок следования элементов, в сочетаниях-нет.

Схема случайного выбора с возвращением:

Число размещений из n элементов по m элементам с повторением:

Пример 4. Из 3-х элементов множ-ва D={a,b,c} составить все размещения по 2 элемента с повторениями и подсчитать их число. Решение:

Размещения (a,b), (a,c), (b,c), (b,a), (c,a), (c,b),(c,c), (b,b), (a,a): их число равно:

Число сочетаний из n элементов по m элементам c повторением: =

9. (ч.2)

Полученные формулы наз-ся формулами Байеса.

Замечание 1. Значение фор-лы Байеса состоит в том, что при появлении события А, т.е. по мере поступления новой информации можно проверять и корректировать выдвинутые до испытания гипотезы, основываясь на переходе от их априорных вер-тей к апостериорным (рис.1)

8.(ч.2)

остается справедливой и при Р(А)=0

Следствие 1. Теорема умножения вер-тей обобщается на случай произвольного числа событий:

P()=P()P()P()..P()

Определ. 1. Событие А называется независимым от события В, если его вер-ть не меняется от того, произошло событие В или нет, т.е. Р(А│В)=Р(А). В противном случае, если Р(А│В)≠Р(А), событие А называется зависимым от события В.

Теорема2 Если событие А не зависит от события В, то и соб. В не зависит от соб. А

Док-во Т.к. А не зав. от В то P(A|B)=P(A)

Запишем теорему умнож. вер-тей в двух формах: P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B).Заменяя Р(А│В) на Р(А), получаем P(A)P(B|A)=P(B)P(A) или P(B|A)=P(B), т.е. соб. В не зависит от соб. А. Т.о., завис-ть и независ-ть событий всегда возможна

Определение2 Независимые события назыв. независимыми в совокупности, если независимы любые 2 из них и независимы любое из данных событий и любые комбинации(произведения) остальных событий.

Пример 1. 3 события А,В и С независимы в совокуп., если независимы события А и В, В и С, А и С, А и ВС, В и АС, С и АВ

Замечание 2. Для независ. событий теор. умнож. вер-тей для 2-х и нескольких событий принимает вид:

Р(АВ)=Р(А)*Р(В)

Р(А₁,А₂,…,А_n)=Р(А₁)*Р(А₂)…Р(А_n)

10. (ч.2)

На рис. видно, что что существует значение m=m₀=1, при котором Р_n(m) принимает значение max. Это значение m₀ наз-ся наивероятнейшим.

Многоугольник – распределение вер-тей. Для нахождения m₀ запишем систему неравенств:

P_n(m₀)≥ P_n(m₀+1)

P_n(m₀) ≥P_n(m₀-1)

Решим 1-ое нер-во системы, используя формулу Бернулли и фор-лу числа сочетаний . Запишем. Т.к. (m₀+1)!= m₀!(m₀+1),

(n- m₀)!= (n- m₀-1)! (n- m₀), то получаем нер-во: q≥p, или (m₀+1)q≥(n-m₀)p, откуда m₀≥np-q (т.к. p+q=1). Решая аналогично 2-е нер-во, получим, что m₀≤np+p. Получим окончательно: np-q≤m₀≤np+p (4)

Замечание 2. Отметим, что разность np+q-(np-q)=p+q=1, то всегда существует хотя бы одно целое значение m₀, удовлетворяющее неравенству (4).

Пример 2. Сколько раз необходимо подбросить игр. кость, чтобы наивероятнейшее выпадение тройки было равно 10?

Решение: В данном случае p=1/6, q=1-p=5/6, m₀=10. Согласно нер-ву (4), можно записать:

n*1/6-5/6 ≤ 10 ≤ n*1/6+1/6 или n-5 ≤ 60 ≤ n+1

n-5 ≤ 60 59 ≤ n ≤ 65

n+1 ≥ 60

т.е. необходимо подбросить игр. кость от 59 до 65 раз включительно.