Шпоры со всеми требованиями от Сумина / 32-37

32 Зависимость и независимость двух случайных величин

Зная законы распределения СВ X и Y входящих в двумерное СВ, законы распределения можно найти только тогда, когда СВ незавимы.

Определение СВ X и Y независимы, если незав. является событие (X<x) и (Y<y) для ∀ действ. чисел x и y, иначе назыв. зависимыми.

Теорема1 СВ X и Y независмы тогда и только тогда, когда функция распределения F(x,y)=

Док-во: Необходимость. Пусть СВ X и Y независимы, тогда события (X<x) и (Y<y) независимы. Поэтому Р[(X<x)(Y<y)]=Р(X<x)*Р(Y<y), т.е. F(x,y)=

Достаточность. Пусть F(x,y)=, тогда Р[(X<x)(Y<y)]=Р(X<x)*Р(Y<y). Значит , СВ X и Y независимы.

Замечание1. Заметим. Что равенство (1) есть иначе записанное условие независимости 2-х событий (P(AB)=P(A)P(B) где A=(X<x), B=(Y<y))

Теорема2 НСВ X и Y независимы тогда и только тогда, когда φ(x,y)=

33 Математическое ожидание и дисперсия двумерной случайной величины (дискрет­ной и непрерывной).

Определение1: МО ДСВ (X,Y) называется совокупность 2-х математических ожиданий MX и MY , определяемых равенством MX= (x_ip_ij), MY= (y_jp_ij) (1), если (X,Y) – ДДСВ и MX= MY=(2) если (X,Y) –НДСВ.

Определение2: Дисперсия ДСВ (X,Y) называется совокупностью 2-х дисперсий DX и DY определяемых равенством: DX=, DY= (3) если (X,Y) – ДДСВ и DX= DY= (4) если (X,Y) – НДСВ.

34. Корреляционный момент (ковариация) и коэффициент корреляции. Их свойства (без доказательства).

Корреляционным моментом или ковариацией 2-х СВ X и Y называется K_xy=cov(X,Y)=M[(X-MX)(Y-MY)]= ковариацию часть удобно вычислить по формуле K_xy=cov(X,Y)=M(X,Y)-MX*MY В самом деле, запишем K_xy= M[(X-MX)(Y-MY)]=M(XY-YMX-XMY+MXMY)=M(XY)-MYMX-MXMY+MXMY=M(XY)-MXMY

Свойства ковариации:

1)ковариация симметрична, т.е. K_xy= K_xх

Док-во: следует из определения ковариации.

2)дисперсия СВ есть ковариация её с самой собой, т.е. K_xх=DX, K_xy=DY

Док-во:

Запишем K_xх< M[(X-MX)(X-MX)]= M(X-MX)²=DX аналогично К_yy=DY

3)Если СВ X и Y независимы, то K_xy=0

Док-во: Из независимости СВ X и Y следует независимость их отношений (X-MX) и (Y-MY) Пользуясь свойствами МО, запишем K_xy= M[(X-MX)(Y-MY)]=M(X-MX)M(Y-MY)=0*0=0

35 Неравенства Маркова и Чебышева

1)Теорема1. Неравенство Маркова: Если СВХ принимает только неотрицательные значения и имеет математическое ожидание, то для любого положительного числа P(x≥ε)≤(1)

Док-во: Док-во проведем для непрерывной СВ Х с плотностью распределения вероятностей φ(х). Запишем P(x≥ε)=

Замечание: отметим, что неравенство (1) можно записать в другой форме P(x<ε)≥1-

2) Теорема2.( Неравенство Чебышева) Для любой СВ Х, имеющей MХ и DX справедливо P(|x-MX|≥ε)≤ (2)

Док-во: док-во проведем для НСВ Х с плотностью распределения вероятностей φ(х). Обозначим МХ=а. Вероятность P(|x-MX|≥ε есть вероятность попадания СВ Х в область, лежащую вне отрезка [а- ε,а+ ε].

36. Закон больших чисел. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли (без доказательства)

Определение СВ сходятся по вероятности к А, если для ∀ε>0 D(||<ε)→1

A

Теорема 1.( Закон больших чисел в форме Чебышева) Если СВ сущ. число С>0 такое, что D, то для ∀ε>0

(1), т.е. среднее арифметическое этих СВ сходится по вероятности к среднему арифметическому их МО

Док-во: т.к. D, то Тогда применяя СВ = неравенство Чебышева (см. билет 35) имеем

Переходя к пределу при n и учитывая. Что вероятность события не превосходит единицы, получаем

3 7 Центральная предельная теорема (без доказательства)

Теорема ЦПТ

Пусть СВ независимы, одинаково распред. имеют конечное математическое ожидание M=a и дисп. D i=1..n Тогда функция распределения центрированной и нормированной суммы этих СВ стрем. равномерно по x∈(-∞;+∞) при n→∞ к функции распределения станд-й норм-й СВ

P()

Замечание. Отметим, что

Замечание следствием ЦПТ являются рассмотренные ранее локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.

34.(3)Замечание: Из свойства 3 следует, что если K_xy≠0, то СВ X и Yзависимы. В этом случае СВ X и Y называют корремированными. Однако из того, что K_xy=0, вообще говоря, не следует независимость СВ X и Y. В этом случае (K_xy=0) СВ X и Y называют некорремированными.

Для DX и DY является частными случаями центр. момента пор порядка k+s двум. СВ

DX=M

Определение Коэффицент корреляции 2-х СВ X и Y называется

Отметим, что коэффициент корреляции является лучшей оценкой степени влияния одной СВ на другую по сравнению с ковариацией.

34(2)4)D(XY)=DX+DY2 K_xy

Док-во: Запишем D(XY)=M[(X+Y)-M(X+Y)]²=M[(X-MX)+(Y-MY)]²=M(X-MX)²+2M[(X-MX)(Y-MY)]+M(Y-MY)²=DX+2K_xy+DY

Аналогично, D(X-Y)=D[X+(-Y)]=DX-2 K_xy+DY

5)Постоянный множитель можно вынести за знак ковариации, т.е. К_cx,y=cК_xy=К_x,cy или cov(cX,Y)=c*cov(X,Y)=cov(X,cY)

Док-во: Запишем К_cx,y=M[(cX-M(cX))(Y-MY)]=M[c(X-MX)(Y-MY)]=cM[(X-MX)(Y-MY)]=cK_x,y

6)Ковариация не изменится, если к одной из СВ или к обоим сразу прибавить постоянную, т.е. K_x+c,y=K_x,y+c=K_x+c,y+c или cov(X+c,Y)=cov(X,Y+c)=cov(X+c,Yc)=cov(X,Y) Без док-ва.

7) Ковариация 2-х СВ X и Y по абсолютной величине не превосходит произведения их средних квадратических отношений, т.е.∣K_xy∣≤σ_xσ_y Без док-ва.

33.Отметим, что МО MX и MY являются частными случаями начального момента υ_ks порядка k+s двумерной СВ (X,Y) , определяемого равенством υ_ks=M(X^kY^s) Отсюда MX=M(X¹X⁰)=υ_1,0 , MY=M(X⁰Y¹) = υ_1,0 Дисперсия DX и DY являются частными случаями центрального момента µ_ks порядка k+s ДСВ (X,Y) определяемого равенством

µ_ks=M[(X-MX)^k(Y-MY)^s] Отсюда DX=M(X-MX)²= µ_2,0 DY=M(Y-MY)²= µ_0,2

32.Док-во: Необходимость. Пустть НСВ X и Y независимы, тогда справедливо равенство (1). Дифференцируем это неравенство сначала по х, потом по у, получим, или φ(x,y)=

Достаточность. Пусть φ(x,y)=, интегрируем данное равенство по х и по y, получаем

, т.е. F(x,y)= . На основании теор.1 заключаем, что СВ X и Y независимы.

Теорема3 ДСВ независима тогда и только тогда, когда P([(X=)(Y=)])=P(X=)P(Y=) , I от 1 до n, J от 1 до m. (без док.)

36.Следствие 1 Если СВ X₁,X₂…X_n независимы и одинаково распределены, т.е. , DX_i=σ² , то для любого

, т.е. среднее арифметическое СВ сходится по вероятности к МО , а

Док-во: Т.к. (MX₁+MX₂+..+MX_n)=(a+a+a..+a)=a, а дисперсия СВ равны числу σ² , т.е. ограничены, то применяя ранее доказанную теорему, получаем

Т. Бернулли Если вероятность появления события А в каждом испытания равна p, число наступ. этого события при n. независимых испытаниях равно имеет место т.е относительная частота υ(А)= событие А сходится к вероятности Р события А:

35.Можно записать P(|x-а|≥ε)=, т.к. область интегрирования , можно записать в виде ( или ≥1

Имеем P(|x-а|≥ε)≤1/ ε²1/ ε² ε²

Замечание: Отметим, что неравенство (2)

можно записать в виде P(|x-MX|<ε)≥1-(3)

34(4)Свойства коэффициента корреляции.

1.Коэффициент корреляции по абсолютной величине не превосходит единицы, т.е. ≤1 или -1≤≤1

Док-во : Т.к. согласно св-ву 7 ковариации ∣K_xy∣≤σ_xσ_y , то =≤=1

2.Если СВ X и Y независимы, тогда по сво-ву 3 ковариации K_xy=0, отсюда, что =

3.Если СВ X и Y связнаы линейной зависимостью, т.е. Y=aX+b, a≠0, то =1 , причем =1, при а>0, =-1, при а<0 Без док-ва.

4. Если =1 , то СВ X и Y связаны линейной функциональной зависимостью. Без док-ва.

Замечание2: Для независимых СВ =0 для линейно связанных =1, в остальных случаях -1≤≤1. Говорят, что СВ связаны положительной корреляцией, если >0, отрицательной, если >0

)