Семинары по ТВиМС / Семинар1_2_твмс
.docТВиМС, Семинары 1–2.
Производящие и характеристические функции.
Характеристической функцией случайной величины называется функция действительного переменного t
f(t)=Eeit, –<t<+,
в частности, если распределение абсолютно непрерывно и имеет плотность (x), то
,
если –дискретная случайная величина, то
.
Производящей функцией случайной величины называется функция комплексного переменного z
,
|z|1.
Свойства характеристической функции:
1. Если P{||<}=1, то f(0)=(1)=1.
2. Если E
||k<
для некоторого целого k1,
то
,
.
3. Если случайные величины 1,…, n независимы, то
,
.
В частности,
,
.
Задачи.
1. Найти производящие
функции, математическое ожидание и
дисперсию следующих дискретных случайных
величин c
,
:
а)
,
,
.
б) P{=k}=pqk–1,
k=1,
2,…;
в) P{=k}=
qn–k
pk,
k=
;
г) P{=k}=
,
k=0,
1,…
Ответ: б)
,
,
;
в)
,
,
;
г)
,
,
.
2. a) Случайные величины 1, 2,….независимы и одинаково распределены: P{i= –4}=2/9 P{i=0}=1/9, P{i=1}=4/9 P{i=2}=2/9, i=1,2…. Найти производящую функцию, математическое ожидание и дисперсию случайной величины Sn=1+ 2+…. + n.
б). Пусть – сумма числа очков, выпавших при бросании 100 игральных костей. Найти производящую функции и Е, D.
3. а) Закон распределения случайной величины определяется формулой
,
где
–
целое положительное число,
,
.
Найти производящую функции ,
Е,
D.
Показать, что распределение
совпадает с распределением суммы
независимых одинаково распределенных
случайных величин.
б) Найти закон
распределения
,
если
независимые и при
;
,
:
Указание. Вспомнить,
что
и
.
Ответ: б)
;
a)
,
,
.
4. а) Пусть
– порядковый номер первого из испытаний
схемы Бернулли (т.е. последовательности
независимых испытаний) которое окончилось
успехом (вероятность успеха в каждом
испытании равна
,
неудачи –
).
Найти
,
.
б) В схеме Бернулли
обозначим через
порядковый номер испытания, в котором
появился k-й
успех; считая вероятность успеха в
каждом испытании равной
,
найти
,
.
Указание: Показать,
что
,
где
–
независимые случайные величины,
распределенные так же, как и величина
.
5. а) Пусть
и
– производящие функции случайных
величин
и пусть
,
где
,
– производящая функция случайной
величины
.
Выразить
через
и
.
б) Пусть
и
– производящие функции случайных
величин
и пусть
–
производящая функция случайной величины
.
Выразить
через
.
Указание:
.
Ответ: a)
;
б)
.
6. Производящая функция целочисленной случайной величины равна (z). Найти характеристическую функцию .
7. Найти характеристические функции, математическое ожидание и дисперсию следующих дискретных случайных величин:
а) P{=k}=1/n,
k=
;
б) P{=k}=(1–p)
pk–1,
k=1,
2,…;
в) P{=k}=
(1–p)n–k
pk,
k=
;
г) P{=k}=
,
k=0,
1,…
8. Найти характеристические функции, математическое ожидание и дисперсию следующих непрерывных случайных величин с плотностью:
а) (x)=1/a, 0x a; б) (x)=1/2a, – ax a;
в) (x)=e–x,
x0;
г)
Ответ:
,
,
.
9. Характеристическая функция целочисленной случайной величины равна f(t).
а) Найти E, D, E(–E)3.
б) Найти характеристическую и производящую функцию величин /2, 2, –, и случайной величины 1–2, где 1, 2– независимые случайные величины, имеющие то же распределение, что .
10. Случайные величины 1, 2 …, независимы и имеют показательное распределение с параметром :
P{ix}=1– e–x, x0, i=1, 2,...
Найти E(1+ 2 +…+n)k при любых значениях k, n=1,2…
Ответ:
.
11. Случайные
величины 1,
2
…,n
независимы. Доказать, что для любого
действительного ,
удовлетворяющего условию
,
i=
,
справедливо равенство
.
12. Характеристическая функция f(t) принимает только действительные значения. Доказать, что при любом действительном t выполняется равенство f(t)= f (–t).
Подсказка. Представить f(t) в виде суммы действительной и мнимой частей и воспользоваться условием задачи и четностью функции cos x.
13. Случайная величина принимает только целые значения, и f(t)– ее характеристическая функция. Найти P{=0 (mod k)}.
Подсказка.
Использовать соотношение
Ответ.
.
14. Случайные
величины
и
независимы, характеристические функции
и
равны
и
соответственно,
.
Найти характеристическую функцию
случайной величины
.
Указание. Применить
формулу полной вероятности. Ответ.
.