(ТВиМС) Семинар 10.

Пусть независимая выборка из распределения , зависящего от неизвестного параметра , – случайная величина с функцией распределения .

Метод правдоподобия

В качестве оценки параметра  по выборке из распределения F(y, ) выбирается значение параметра, максимизирующее функцию правдоподобия:

.

Здесь p(x; ) обозначает плотность распределения непрерывной случайной величины или вероятность события {=x} в случае дискретной случайной величины.

Таким образом, . Статистика называется оценкой наибольшего правдоподобия. Если функция правдоподобия является дифференцируемой по переменным , то оценка наибольшего правдоподобия  удовлетворяет следующей системе уравнений:

.

Метод моментов

Идея этого метода заключается в приравнивании теоретических и эмпирических моментов. Теоретическим моментом -го порядка называется функция . Отметим, что теоретический момент есть функция от неизвестных параметров. Эмпирическим моментом -го порядка называется .

Для того, чтобы найти оценки неизвестных параметров по методу моментов следует:

1) явно вычислить теоретические моменты , , и составить следующую систему уравнений для неизвестных переменных :

(1)

В этой системе рассматриваются как фиксированные параметры.

2. решить систему (1) относительно переменных . Так как правая часть системы зависит от выборки, то в результате окажутся функциями от : ,…….

Это и есть искомые оценки параметров по методу моментов.

Задачи

1. Случайная величина (число появлений события в в независимых испытаниях) распределена по закону Пуассона , где – число испытаний, произведенных в одном опыте, - число появлений события в i-ом опыте. Найти по выборке точечную оценку параметра , используя метод: а) моментов; б) наибольшего правдоподобия. Ответ: .

2. Случайная величина (число появлений события в в независимых испытаниях) распределена по биномиальному закону , – число испытаний, произведенных в одном опыте, - число появлений события в i-ом опыте. Найти по выборке точечную оценку параметра , используя метод: а) моментов; б) наибольшего правдоподобия. Для , и выборки

0 1 2 3 4

5 2 1 1 1

где – число опытов, в которых наблюдалось появлений события , вычислить .

3. По выборке используя метод: а) моментов; б) наибольшего правдоподобия для случайной величина , имеющей распределение:

a) Найти a и . б) , где . Найти .

в) , . Найти .

4. По выборке , используя метод моментов, для случайной величины , имеющей распределение:

а), . Найти a, b .

б) ,<. Найти , .

5. По выборке , используя метод наибольшего правдоподобия, для случайной величины , имеющей распределение:

а) , ) - известно, - ?

б) . Найти а, если известно . Найти , если известно а.