(ТВиМС) Семинар 11.

Рассмотрим случайную величину  и случайную выборку =(X₁,…, X_n), полученную в результате n независимых испытаний над ней. Требуется проверить некоторую гипотезу H₀ о законе распределения . Будем говорить, что задан некоторый статистический критерий для проверки гипотезы H₀, если сформулировано правило, согласно которому принимается решение: согласуются ли наблюдаемые значения с гипотезой (обычно ее называют основной или нулевой) или она должна быть отвергнута, как противоречащая статистическим данным.

Для построения критерия обычно разбивают выборочное пространство  на два непересекающихся множества R и S таких, что все значения выборки , принадлежащие множеству R, считаются характерными для гипотезы H₀, а принадлежащие множеству S– нехарактерными для гипотезы H₀. Гипотезе H₀ принимается, если конкретная реализация выборки будет принадлежать R, и отвергается, если она будет принадлежать S. Следовательно, критерий можно определить с помощью множества S. Множество S называется критическим множеством.

Для каждого критерия возможны ошибки двух родов. Ошибка первого рода– гипотеза H₀ справедлива, но она отвергнута. = –вероятность ошибки первого рода (кратко говорят: ошибка первого рода равна ). Ошибка второго рода– гипотеза H₀ ложна, но она принята. –вероятность ошибки второго рода.

Множество S можно задать с помощью статистики T =T(), характеризующей отклонение эмпирических данных от соответствующих (гипотезе H₀) гипотетических значений, распределение которых в случае справедливости H₀ известно (точно или приближенно). Тогда для каждого достаточно малого >0 можно определить подмножество S_1={t: t =T(),}, удовлетворяющее (точно или хотя бы приближенно условию)

.

Любое такое подмножество S_1 порождает следующий критерий согласия для гипотезы H₀: если t =T()–наблюдавшееся значение статистики T(), то при tS_1 гипотеза H₀ отвергается, в противном случае принимается. Число  называют уровнем значимости критерия или размером критерия, статистику T –статистикой критерия, а сам критерий –критерием S_1.

Любое допустимое распределение выборки , отличающиеся от гипотетического (т.е. распределения при гипотезе H₀), будем назвать альтернативным распределением или альтернативой. Совокупность всех альтернатив называют альтернативной гипотезой и обозначают H₁. Функцией мощности критерия S_1 называется функционал на множестве всех допустимых распределений {F}:

W(F)=W(S_1; F)=.

W(F)–вероятность попадания значений статистики в критическую область, когда истинным распределением наблюдений является F. Если F H₁, то значений W(F) называют мощностью критерия при альтернативе F, оно характеризует вероятность принятия правильного решения в ситуации, когда H₀ ложна. Таким образом, =1– W(F).

Из двух критериев с одним и тем же уровнем значимости  лучшим считается тот, мощность которого при альтернативе больше.

Пусть требуется различить две простые гипотезы H₀ и H₁, согласно которым  абсолютно непрерывна (дискретна) распределена с плотностями распределения p₀(x) и p₁(x) (вероятностями p(x)=P{=x}) .

Теорема Неймана-Пирсона. Наиболее мощный критерий проверки простой гипотезы H₀ при простой альтернативе с вероятность ошибки первого рода  существует и задается критической областью

,

где критическая граница определяется из условия .

Статистика называется статистикой отношения правдоподобия.

Задачи

1. Пусть абсолютно-непрерывная случайная величина  имеет плотность распределения, сосредоточенную при гипотезе H₀ на отрезке [0,1], а при гипотезе H₁ на отрезке [2,3]. Построить критерий для проверки гипотез H₀ и H₁ при одном испытание n=1. Ответ: S=[2,3]. ,–?.

2. Пусть случайная величина  при гипотезе H₀ имеет распределение , а при гипотезе H₁ –распределение: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Зададим критерий для проверки гипотезы H₀ против альтернативы H₁. Для следующих критических областей найти ,.

1. S={: все X_j1, j= }; б) S={: хотя бы одно из X_j, равно 2} для 2–4; в) придумать свой критерий.

3. Пусть выборка состоит из одного единственного наблюдения x₁(n=1). Что представляет собой при разных значениях критическое множество критерия Неймана-Пирсона для проверки гипотез.

а) случайная величина  при гипотезе H₀ имеет распределение , при H₁– .

б) случайная величина  имеет распределение , где дисперсия известна, а математическое ожидание нет. H₀: = ₀ против альтернативы H₁: =₁.

в) случайная величина  имеет плотность (x,)=,–<x<+, (–,+)) проверяется гипотеза H₀:=0 против альтернативы H₁: =1.

4. В последовательности n независимых испытаний вероятности положительных исходов одинаковы и равны p. Построить критерий проверки гипотезы p₀=0 против альтернативы p>0. Найти , .

Ответ: S={T_n>0}, T_n– число положительных исходов в n испытаниях.

5. Построить по одному наблюдению X₁(n=1) критерий отношения правдоподобия для проверки гипотезы H₀: f(x)=1 на отрезке [0,1] против альтернативы H₁: f(x)= на отрезке [0,1].

Ответ: =P{ X₁>c_}, c_=1–, = .

6. Пусть для распределения Коши (плотность f(x,)=,–<x<+, (–,+)) проверяется гипотеза H₀:=0 против альтернативы H₁: =1. Построить по одному наблюдению (n=1) критерий отношения правдоподобия: S={:c}. Найти в явном виде критическую область S и ошибки , в случае выбора c: а) c=1, б) c=2.

Ответ: S={X₁1/2}, =1/2–1/ arctg1/2, =–1/2–1/ arctg1/2; S={3X₁1}, =1/(arctg 3– arctg1), =1–1/ arctg2.

7. По выборке =(X₁,…,X_n) из Пуассоновского распределения П() построить критерий Неймана-Пирсона для проверки гипотез H₀: =₀ против альтернативы H₁: =₁(0<₀<₁). Ответ: =. Критическая граница находится из уравнения , .

8. (д.з.) Продолжение 7. Исследовать асимптотическое поведение характеристик критерия при больших объемах выборки (n) и гипотезах ₁=₀+, a>0–константа.

Указание. Использовать, если  имеет распределение Пуассона с E=, то

. (почему?)

Таким образом, можно считать, что при больших  величина  имеет приближенно нормальное распределение с E=, D=.

9. Рассмотрим последовательность биномиальных испытаний X₁,…,X_n с постоянной вероятностью успеха p. Построить критерий отношения правдоподобия для проверки гипотез H₀: p=p₀ при альтернативе H₁: p=p₁ (p₀< p₁). Найти минимальный объем выборки n, при котором можно разделить гипотезы H₀ и H₁ с заданным уровнем значимости  и мощностью . Ответ: n=.