Семинар 6-7. Основные понятия математической статистики

Неравенство Чебышева

для любого >0.

Задачи 0

1. Пусть функция g(x), x0, неотрицательна и монотонно возрастает. Показать, что для любой действительной случайной величины  справедливо неравенство

.

Указание. Заметить, что если f_x(t)=0 при |t|<x, f_x(t)=1 при |t|x, то P{||x}=E f_x() и g(t)  f_x(t) g(x).

2. Пусть случайная величина _n равна сумме очков, появившихся при n подбрасываниях симметричной игральной кости. Используя неравенство Чебышева, оценить сверху

, >0.

3. Пусть ₁…, _n–результаты n испытаний схемы Бернулли (P{_i =1}=p, P{_i =0}=1–p) и случайная величина _n=₁+…+_n, т.е. число успехов.

а) Используя неравенство Чебышева, оценить снизу

, >0.

б) Оценить, используя пункт а, наименьшее число бросаний монеты, при котором частота герба отличается от 1/2 не более чем на 0.1 c вероятностью не меньшей 0.9. Ответ: 250.

Задачи

1. В урне m белых и n–m черных шаров, при этом числа m, n неизвестны. Чтобы оценить неизвестную долю p=m/n белых шаров в урне проводят опыт, заключающийся в извлечении с возвращением из урны k шаров. Обозначим  случайную величину, равную числу белых шаров среди извлеченных, и будем в качестве приближенного значения (оценки) неизвестного параметра p использовать величину – относительное число наблюдавшихся в опыте белых шаров. Вычислить E, D. Доказать, что при любом >0

.

Ответ: E= p, D= p(1–p)/k. (Воспользоваться неравенством Чебышева)

2. Получить реализацию x случайной величины , определенной в задаче 1, посредством реального извлечения k=10, 20, 30, 40 шаров, билетиков при следующих значениях m=3, n=10. Для каждого указанного значения k найти отношение x/n, являющееся приближенным значением p=m/n=0,3.

В дальнейшем будем предполагать, что для получения исходных статистических данных осуществляется эксперимент, в котором проводится n повторных независимых испытаний на некоторой случайной величиной , закон распределения которой полностью или частично неизвестен. Пусть X_j означает результат j-го испытания, . Тогда X₁,…, X_n можно рассматривать как n независимых копий величины : P{ X_j x}= P{  x}= F_ (x), .

Таким образом, результат эксперимента описывается в этом случае n-мерным случайным вектором =( X₁,…, X_n), который называется выборкой, а число наблюдений n –ее объемом.

Реализация выборки =(X₁,…,X_n) обозначается строчными буквами =(x₁,…,x_n), множество всех возможных реализаций ={} называется выборочным пространством.

Одним из стандартных способов представления выборки =( X₁,…, X_n) является ее вариационный ряд X₍₁₎ X₍₂₎… X_(n), получаемый упорядочением наблюдений X₁,…, X_n по возрастанию, так что X₍₁₎= , X₍₂₎–второе по величине наблюдение и т.д. Величина X_(k) называется k–ой порядковой статистикой, X₍₁₎ и X_(n)– экстремальными (соответственно, минимальными или максимальными) значениями выборки, а их разность X_(n)–X₍₁₎ – ее размахом.

Медиана (или середина), равна X_(m+1) при n=2m+1, и (X_(m)+X_(m+1))/2 при n=2m.

В дальнейшем под термином «основные характеристики выборки» будем понимать совокупность ее экстремальных значений, размаха и медианы.

Эмпирическая функция распределения определяется формулой

, –<x<+,

где случайная величина v_n(x) равна числу тех наблюдений X₁,…, X_n, значения которых не превосходят x.

4. Реализацией выборки =(X₁,…,X₆) являются следующие данные: –1,5; 2,6; 1,2; –2,1; 0,1; 0,9. Найти ее основные характеристики и построить эмпирическую функцию распределения.

5. Пусть (0,9; 0,1; 0,6; 0,7; 0,4) – наблюдавшиеся значения случайной величины . Найти ее основные характеристики и построить эмпирическую функцию распределения.

6. Пусть (–0,8; 2,9; 4,4; –5,6; 1,1; –3,2) – наблюдавшиеся значения случайной величины . Найти ее основные характеристики и построить эмпирическую функцию распределения.

7. Пусть x₁< x₂. Чему равна вероятность P{ =}?

Ответ: Pⁿ( ( x₁, x₂])=(1–F(x₂)+ F(x₁))ⁿ.

8. Пусть P{=j}=p_j, , и =( X₁,…, X_n) – выборка из этого распределения. Найти вероятность P{–=r/n}. Ответ: .

9. Показать, что распределение эмпирической функции распределения в любой точки x, для которой 0<F(x)<1, имеет следующий вид:

,

при этом E= F(x), D= F(x)(1– F(x))/n.

Указание. Использовать то, что величина v_n(x) распределена по биномиальному закону Bi(n, p) с p= F(x).

10. (Продолжение) Воспользовавшись неравенством Чебышева установить оценки: для любого t>0

.

11. (Продолжение) Воспользовавшись центральной предельной теоремой доказать, что при n

,

где (x)– функция распределения нормального закона N(0,1).