12. Теорема гипотез. ( Формула Байеса)

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является так называемая гипотез, или формула Байеса. Поставим следующую задачу.

Имеется полная группа несовместных гипотез . Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны соответственно . Произведен опыт, в результате которого наблюдено появление некоторого события . Спрашивается, как следует изменить вероятности гипотез в связи с появлением этого события?

Здесь, по существу, речь идет о том, чтобы найти условную вероятность для каждой гипотезы.

Из теоремы умножения имеем:

или, отбрасывая левую часть,

откуда

,

Выражая Р(А) с помощью формулы полной вероятности, имеем

,

Пример. Два стрелка независимо один от другого стреляют по одной мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8, для второго  0,4. После стрельбы по мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что эта пробоина принадлежит первому стрелку.

Решение. До опыта возможны следующие гипотезы:

 ни первый, ни второй не попадут;  оба попадут;  первый попадет, второй  нет;  первый не попадет, второй попадет. Вероятность этих гипотез:

=0,20,6=0,12; =0,32; =0,80,6=0,48; =0,20,4=0,08.

Условные вероятности наблюденного события при этих гипотезах:

; ; ; .

После опыта невозможные гипотезы  и .

^.

13. Дискретные и непрерывные случайные величины

Как уже было сказано, случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, не известно заранее, какое именно. Различают величины дискретного и непрерывного типа. Возможные значения дискретной величины могут быть заранее перечислены.

Возможные значения непрерывной величины не могут быть заранее перечислены и непрерывно заполняют некоторый промежуток.

Примеры дискретных случайных величин:

• число появлений герба при 3-х бросаниях монеты: 0, 1, 2, 3;

• число отказавших элементов в приборе, состоящем из пяти элементов0,1,2,3,4,5;

• число попаданий в самолет, достаточное для вывода его из строя1,2,3,…, ,…;

• число сбитых в воздушном бою самолетов0,1,2,…, ; где общее число боевых самолетов.

Примеры непрерывных случайных величин:

• абсцисса (ордината) попадания при выстреле;

• расстояние от точки попадания до центра мишени;

• ошибка измерителя высоты;

• время безотказной работы радиолампы.

Будем обозначать случайные величины большими буквами , а их возможные значения  соответствующими малыми буквами. Например,  число попаданий при 3-х выстрелах; возможные значения - .

Рассмотрим дискретную случайную величину с возможными значениями . может принимать любое из этих значений с некоторой вероятностью. В результате опыта произойдет одно из полной группы событий . Вероятности этих событий обозначим буквой с соответствующими индексами –

.

Т.к. эти несовместные события образуют полную группу, то .

Эта суммарная вероятность каким-то образом распределена между отдельными значениями. Случайная величина будет полностью описана, с вероятностной точки зрения, если мы зададим это распределение, т.е. в точности укажем, какой вероятностью обладает каждое из событий . Этим мы установим так называемый закон распределения случайной величины.