43. Теорема Чебышева

Если - последовательность попарно независимых случайных величин, у каждой из которых есть математическое ожидание и дисперсия , , причем дисперсии равномерно ограничены, то для любого положительного

Доказательство. Последовательность равномерно ограничена, т.е. существует такое М, что для любого натурального . Рассмотрим случайную величину

. У этой величины есть математическое ожидание и дисперсия:

,

Здесь мы воспользовались свойством, что если случайные величины независимы, то дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий.

Таким образом, удовлетворяет всем требованиям для применения неравенства Чебышева, а значит, при любом имеем или

Итак,

Пусть , тогда при любых .

Отсюда , что и требовалось доказать.

44. Теорема Бернулли

Пусть комплекс условий S воспроизводится n раз, и каждый раз событие А может происходить с одной и той же вероятностью р независимо от результатов предыдущих опытов. Тогда вероятность того, что отклолнение частоты от вероятности р< по модулю положительного числа , стремится к достоверной, при , т.е. .

Доказательство: Пусть случайная величина - число наступлений события А в i-ом испытании, тогда распределение этой случайной величины задается таблицей:

	0	1

Найдем числовые характеристики этого распределения , .

Отсюда видно, что все требования т. Чебышева выполняется, а значит, если сумму обозначить через m (это число наступлений события А в n испытаниях) то по формуле из следствия к т. Чебышева, получим

Устремляя получим

45. Теорема Ляпунова

Можно доказать, что CBX₁X₂…X_n –являются независим нормально распределенными CB, то сумма также распределена по номмальному закону с мат. Ожиданием равным сумме мат. ожиданий и дисперсией равной сумме дисперсий. Обобщением этого утверждения является следующая Т. Ляпунова

Т. Если X₁X₂…X_n –независимые CB, у каждой из которых существует мат ожидание и диспепсия , , также существует , а также , тогда сумма S=X₁+X₂+…+X_n распределена асимптотически по нормальному закону с мат ожид равным сумме мат ожид и дисперсий равной сумме дисперсий, тогда для

–ранее вывели. Ф-ция Лапласа.

Следствием из Т. Липунова являются следующие неравенства:

1. 

2. 

3. 

Здесь γ и ε –любые положительные числа, а также a₁=a₂=…=a_n=a,

Например, если производятся измерения некоторой величины, истинное значение которой равно a, то среднее арифметическое значение результатов измерений отличается от истинного значения по модулю меньше чем ε с вероятностью прибл равной

46. Интегральная теорема Лапласа

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие может произойти с вероятностью p или не произойти с вероятностью q. Если Х_i – число наступлений события А в i-том испытании, то Х₁+Х₂+…+Х_n – число наступлений события А во всех

n испытаниях. Ранее нами было получено, что М(Х_i) =р, а D(Х_i) =pq.

Случайные величины Х_i одинаково распределены и независимы, тогда справедлива теорема Ляпунова и выполняется следующее утверждение:

- это равенство называют интегральной теоремой Лапласа.

Очевидно, что интегральная теорема Лапласа является следствием теоремы Ляпунова. Отсюда вытекают следующие соотношения:

Из теоремы Лапласа вытекает, что случайная величина m – число наступлений события в n независимых испытаниях распределена при больших n приближенно по нормальному закону с математическим ожиданием np и дисперсией npq, где р – вероятность наступления А в i-том испытании, q – вероятность не наступления А в i-том испытании.

Пример. При установившемся технологическом процессе фабрика выпускает в среднем 80% продукции первого сорта. Чему равна вероятность того, что в партии 1000 изделий число первосортных заключено между 760 и 830.

Решение:

n=1000, p=0,8 (первый сорт).

Требуется найти вероятность того, что число m первосортных изделий заключено между α=760, β=830

np=1000•0,8=800

.

47. Теорема Моаврв-Лапласа

Если производится n независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью p, то справедливо соотношение где m-чтсло появлений события А в n опытах, q=1-p

Теорема: если вероятность p наступления события А в каждом из n испытаний отлична от 0 или 1, то - вероятность того, что событие А при этом наступит m раз, при удовлетворяет предельному неравенству , где

При сделанных предположениях относительно p,eсли n достаточно большое, имеет место приближенное равенство

48. Виды статистических наблюдений

Формирование информационной базы требует организации статистического наблюдения.

Статистическое наблюдение – организованный сбор массовых данных об исследуемых педагогических процессах и явлениях, организованных по специальной программе.

Статистическая совокупность (генеральная) – множество однородных объектов или явлений, объединенных по какому-то критерию.

В педагогике в качестве совокупности рассматривают группы людей.

Общее число членов совокупности называется объемом или размером совокупности.