1. Событие. Классификация событий.

Событием называется любой факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. События обозначают заглавными буквами латинского алфавита.

Достоверным называется событие, которое непременно произойдет при определенной совокупности условий.

Невозможным называется событие, которое заведомо не произойдет при определенной совокупности условий.

Случайным, называется событие, которое при определенных условиях может произойти или не произойти.

Два события называются совместными в данном опыте, если появление одного не исключает появление другого.

Два события называются несовместным, если они не могут произойти в одном испытании.

Несколько событий называются несовместными, если они попарно несовместны.

Два события называются противоположными, если появление одного равносильно непоявлению другого.

Множество событий называются полной группой событий, если они попарно несовместны; появление одно и только одного из них является достоверным событием. Например, шесть граней кубика образуют полную группу событий.

События называются равновозможными, если нет оснований полагать, что одно событие более возможно, чем другие.

Каждое событие, которое может наступить в процессе опыта, называется элементарным исходом.

2.Вероятность события. Свойства вероятности. Классическая вероятность.

Для качественного сравнения событий вводится определенная мера, которая называется вероятностью события.

Классическое определение вероятности , - общее число исходов, - число благоприятствующих исходов.

Свойства вероятности:

1. Вероятность достоверного события равна единице. Обозначим - достоверное событие, т.е. , .

2. Вероятность невозможного события равна нулю. Обозначим - невозможное событие, т.е. , .

3. Вероятность случайного события выражается положительным числом, меньшим 1. Поскольку для случайного события выполняются следующие неравенства или , .

4. Вероятность любого события удовлетворяет неравенству .

Элементы комбинаторики : Перестановкой из элементов называется расположение этих элементов в ряд. Для пустого множества – его можно упорядочить только одним способом, т.е. по определению полагают . Сочетаниями из различных элементов по элементов называются множества, содержащие элементов из числа заданных, и которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний из элементов по обозначают ; это число выражается формулой . По определению – . Размещениями из различных элементов по элементов называются множества, составленные из различных элементов по элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число размещений из элементов по обозначают ; это число выражается формулой При решении задач комбинаторики используются правила: Правило суммы. Если некоторый объект может быть выбран из множества объектов способами, а другой объект можно выбрать способами, то выбрать либо , либо можно способами. Правило произведения. Если некоторый объект может быть выбран из множества объектов способами и после каждого такого выбора объект можно выбрать способами, то пара объектов в указанном порядке может быть выбрана способами.

3. Статистическое определение вероятности

Классическое определение вероятности предполагает, что все элементарные исходы равновозможные. О равновозможности исходов опыта заключают в силу соображений симметрии (как в случае монеты или игрального кубика). Задачи, в которых можно исходить из соображений симметрии, на практике встречаются редко. Существует обширный класс событий, вероятности которых нельзя вычислить по классической формуле . Рассмотрим, например, неправильно выполненную, несимметричную игральную кость. Выпадение определенной грани уже не будет характеризоваться вероятностью ; но, вместе с тем ясно, что для данной конкретной несимметричной кости выпадение данной грани обладает некоторой степенью вероятности, указывающей, насколько часто в среднем должна появляться данная грань при многократном бросании. Очевидно, что вероятности таких событий, как “попадание в цель при выстреле”, “пробивание брони осколком снаряда”, “улучшение состояния больного при приеме лекарств”, также не могут быть вычислены по классической схеме. В связи с этим появилась необходимость введения еще одного определения вероятности, называемого статистическим. Чтобы дать это определение, предварительно вводят понятие относительной частоты события.

Относительной частотой события, или частотой, называется отношение числа опытов, в которых появилось это событие, к числу всех произведенных опытов, , где m – число появления события , n – число произведенных опытов.

Наблюдения позволили установить, что относительная частота обладает свойствами статистической устойчивости: в различных сериях многочисленных испытаний (в каждой из которых может появиться или не появиться это событие) она принимает значение достаточно близкое к некоторой постоянной. Эту постоянную, являющуюся объективной числовой характеристикой явления, считают вероятностью данного события.

Статистической вероятностью называется число, около которого группируются значения частоты данного события в различных сериях большого числа испытаний (например, на 1000 новорожденных – 515 мальчики и т.д.).

4. Геометрическая вероятность

Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов конечно. На практике встречаются опыты, для которых множество таких исходов бесконечно. Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятность – вероятность попадания точки в область.

Обозначим меру области g (длину, площадь, объем) через mes g, а меру G – через mes G (mes первые три буквы французского слова , что значит мера); обозначим буквой событие “попадания брошенной точки в область g, содержащейся в области G.” Вероятность попадания в область g точки, брошенной в область G, определяется формулой:

.

Пример. Найти вероятность того, что расстояние от брошенной точки, брошенной на отрезок единичной длины, до концов отрезка .

Решение. .

5. Задача о встрече

Два студента договорились о встрече в некоторый промежуток времени [0,T], причем каждый из них приходит к месту встречи случайным образом и ждет другого не более τ минут. Найти вероятность встречи студентов.

П усть х и у – моменты прихода студентов к месту встречи. Областью равновозможных значений х и у является квадрат площадью . Встреча произойдет, если . Этому неравенству удовлетворяют точки, лежащие в заштрихованной полосе. Площадь полосы . Тогда

.

6. Действия над событиями.

Суммой, или объединением, двух событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них. Сумма событий и обозначается как или .

Аналогично определяется и обозначается сумма событий – то есть событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них. Сумму событий обозначают так:

А ₁+А₂+…+А_n= или А₁ А₂…А_n=

B – попадание точки в окрашенную область

(например, выпадение четного числа очков при бросании игральной кости (2)+(4)+(6)).

Произведением или пересечением двух событий называется событие, состоящее в одновременном их появлении. Произведение событий и обозначается через или . Аналогично определяется произведение n событий. Произведение n событий обозначают: А₁А₂…А_n= А_i или А₁А₂…А_n= A_i

- попадание точки в заштрихованную область.

Операции объединения и пересечения событий обладают некоторыми свойствами, аналогичными операциям умножения и сложения.

Эти операции коммутативны: A 

ассоциативны: (C=C)=C

C=C)=C)

дистрибутивны: С=(АС)С).

Разностью событий и называется событие , которое означает, что наступает событие и не происходит событие . Разность и обозначается так: или .

7. Теорема сложения вероятностей.

Теорема сложения вероятностей формулируется следующим образом:

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е. .

Докажем теорему сложения вероятностей для схемы случаев. Пусть все исходы опыта сведены к совокупности случаев, которые мы изобразим в виде n точек:

~ A k ~ B

………………………………….

n

из этих n случаев – m благоприятны А, а k – благоприятны В. Тогда . Так как события А и В несовместны, то нет таких случаев, которые благоприятны и А и В одновременно. Следовательно, событию А + В благоприятны m + n случаев и , тогда

Обобщим теорему на случай трех событий. Обозначая событие и присоединяя к сумме еще одно событие С, легко доказать, что

.

Методом полной индукции можно обобщить теорему сложения на произвольное число несовместных событий. Таким образом, теорему сложения вероятностей удобно записать в виде:

.

Следствие 1. Если события А₁, А₂, ... А_n образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна 1, т.е. .

Доказательство. Так как ; образуют полную группу событий, то появление хотя бы одного из них – достоверное событие: .

Так как – несовместные события, то к ним применима теорема сложения вероятностей, т. е. .

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1: Доказательство. В случае, когда события и совместны, вероятность суммы этих событий выражается формулой: .

Аналогично вероятность суммы трех совместных событий вычисляем по формуле .

Методом полной индукции можно доказать общую формулу для вероятности суммы любого числа совместных событий:

.

8. Теорема умножения вероятностей

Событие называется независимым от события В, если вероятность события не зависит от того, произошло событие или нет. Событие называется зависимым от события В, если вероятность события меняется в зависимости от того, произошло событие или нет.

Вероятность события , вычисленная при условии, что имело место другое событие , называется условной вероятностью события А, и обозначается .

Условия независимости события от события можно записать как , условия зависимости .

Теорема умножения:

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место

(*)

Докажем теорему умножения для схемы случаев. Пусть возможные исходы опыта сводятся к n случаям, которые мы изобразим в виде n точек:

~ ~

. . . . . . . . . . . .

~

Предположим, что событию благоприятны случаев, а событию благоприятны k случаев. Мы не предполагали, что и несовместны, следовательно существуют случаи благоприятные и и одновременно. Пусть число таких случаев . Тогда

;

Вычислим P(B/A), т.е. условную вероятность в предположении, что имело место. Если известно, что событие произошло, то из ранее возможных n случаев остаются возможными только те m, которые благоприятствовали событию . Из них l случаев благоприятны событию . Следовательно

. Подставляя полученные выражения , и в (*) получим тождество .