11) Реті төмендетілетін жоғары ретті дифференциалдық теңдеулер.
Жоғарғы ретті дифференциалдық теңдеулерді айқындалмаған
(1)
теңдеу түрінде, немесе, жоғарғы туындысы бойынша шешілген
(2)
теңдеу түрінде жазуға болатыны айтылған.
Енді осы теңдеулердің ретін қандай жағдайларда төмендетіп, интегралдауды оңайлатуға болатынын көрсетейік.
Тәуелсіз айнымалы айқын түрде
кірмеген теңдеу:
(3)
жалпы интегралы
н/е
түрінде болады.
Белгісіз функция мен оның
алғашқы туындылары кірмейтін теңдеу:
(4)
жалпы интегралы
(5)
теңдеуді интегралдау арқылы табылады.
Белгісіз функция мен оның
туындылары бойынша біртекті теңдеу.
Егер (1) теңдеудегі
функциясы үшін
шарты орындалса, онда ол
функция
дәрежелі біртекті функция деп аталынады
да, сәйкес теңдеу функция мен оның
туындылары бойынша біртекті деп
аталынады. Бұл жағдайда
алмастыруы арқылы теңдеудің реті бір
ретке төмендетіледі. Шынында да,
Бұл өрнектерді (1) теңдеуге
қойсақ,
түріндегі
-ретті
теңдеу аламыз. Егер бұл теңдеудің
түріндегі жалпы шешімін таба алсақ, онда берілген теңдеудің жалпы шешімі
теңдеуін
интегралдаудан алынады.
Теңдеудің сол жағы басқа бір
функцияның туындысы болса, онда теңдеудің
реті бір ретке төмендейді. Шынында да,
болғандықтан, бір аралық интеграл белгілі:
,яғни
бастапқы теңдеудің реті бір өлшемге
кеміді.
Жалпыланған біртекті теңдеу,
яғни
функциясы үшін
шарты орындалатын теңдеу.
Бұл жағдайда
алмастыруы арқылы теңдеудің ретін бірге
кемітуге болады.
12. Жоғары ретті сызықты дифференциалдық теңдеу.
Жоғарғы ретті жәй дифференциалдық теңдеудің туынды бойынша шешілмеген түрі былай жазылады: (1)
Мұндағы,
-тәуелсіз
айнымалы,
-белгісіз
функция, ал
-
белгісіз функцияның туындылары
.
- кейбір
облысында анықталған нақты үздіксіз
функция. Егер (1) қатынас жоғарғы
туындысы бойынша шешілсе, онда былай
жазамыз:
(2)
Мұндағы,
- функциясы кейбір
облысында анықталған үздіксіз функция
деп есептелінеді. Бұл теңдеулердің
шешімдері де бірінші ретті теңдеулердің
шешімдеріне ұқсас түрде анықталады.
Анықтама-1. аралығында анықталған функциясы (2) теңдеудің осы аралықтағы шешімі деп аталынады, егер ол төмендегідей үш шартты қанағаттандырса:
функциясы аралығында
рет
дифференциалданатын болса;
;
.
Айқындалмаған (1) теңдеудің де шешімін осы түрде анықтауға болады.
Анықтама-2. аралығында анықталған функциясы (1) теңдеудің осы аралықтағы шешімі деп аталынады, егер ол төмендегідей үш шартты қанағаттандырса:
функциясы аралығында рет
дифференциалданатын болса;
;
.
13) Туындысы бойынша шешілмеген дифф-қ теңдеулер. Параметр еңгізу әдісі
14. Туынды бойынша шешілген І-ретті дифф-қ теңдеу. Негізгі ұғымдар
15) Біртекті дифференциалдық теңдеулер келтірілетін теңдеулер
16)Біртекті дифференциалдық теңдеулер. Қасиеттері
Белгісіз функция мен оның
туындысы сызықты түрде, яғни бірінші
дәрежеде байланысқан теңдеуді сызықты
дифференциалдық теңдеу деп атайды.
Сызықты теңдеудің келтірілген түрін
қарастырайық:
(1)
Мұнда p(x), q(x)
функциялары кейбір <a,b>
аралығында анықталған және үздіксіз
деп есептелінеді. Егер q(x)0
болса, онда (1) теңдеуді біртексіз сызықты
теңдеу деп, ал q(x)=0
болса, онда біртекті сызықты теңдеу деп
атайды:
(2)
Көбінесе (2) теңдеуді (1) теңдеудің сәйкес біртектісі деп атайды.
Біртекті (2) теңдеу айнымалылары
ажыратылатын теңдеу. Екі жағын
у-ке бөліп, мынандай
теңдеу аламыз:
Осы қатынасты интегралдасақ:
өрнегін
аламыз. Логарифмсіз жазсақ,
(3)
түріндегі (2) теңдеудің жалпы шешімін аламыз. Егер y=0 жағдайды қарастырсақ, ол осы жалпы шешімнің С=0 болғандағы мәніне сәйкес келетін шешім. Сондықтан y=0 – дербес шешім. Оны нөлдік немесе тривиaл шешім деп те атайды және ол барлық уақытта бар шешім.
Біртекті (2) теңдеудің (3) жалпы шешімін Коши түрінде жазсақ, былай жазылады:
(4)
мұнда х0 -тұрақты сан, ал у0 – кез келген сан деп есептелінеді.
Біртекті теңдеу шешімдерінің екі қасиетін атап өтейік:
10. Егер у1 және у2 функциялары (2) теңдеудің шешімдері болса, онда олардың қосындысы: уу1+у2 функциясы да сол теңдеудің шешімі болады.
20.
Егер у1
функциясы (2) теңдеудің шешімі болса,
онда
функциясы да (С –
кез келген сан) сол теңдеудің шешімі
болады.
17) Біртекті сызықты дифференциалдық теңдеу. Сызықты тәуелділік және тәуелсіздік.
18) Біртекті сызықты дифференциалдық теңдеу. Вронскиан
19) Біртекті сызықты дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімінің құрылымы
20) Сызықты дифф-дық теңдеулер үшін Остроградский-Лиувилль формуласы
21) Оң жағы квазикөпмүшелік болатын тұрақты коэффициентті біртексіз теңдеуді қарастырайық:
(1)
Мұнда
-сандары
нақты, ал
-
функциясы кейбір
аралығында үздіксіз деп алынады.
Өткен
параграфта көрсетілгендей, біртексіз
сызықты теңдеудің жалпы және дербес
шешімдерін жалпы жағдайда тұрақтыларды
вариациялау арқылы анықтауға болады.
Кейбір жағдайларда
функциясының түріне байланысты шешімді
алгебралық амалдардың көмегімен
интегралсыз-ақ табуға болады.
Айталық, функциясы квазикөпмүшелік түрде берілсін, яғни
(2)
Мұнда
-дәрежесі
-ге
тең көпмүшелік:
(3)
Сонымен,
(4)
Дербес шешімді құрудың екі жағдайы қарастырылады.
-саны
сипаттаушы теңдеудің түбірі емес. Бұл
жағдайда дербес шешім мына түрде
ізделінеді:
(5)
Мұнда
(6)
Осы
(20) өрнекті (19) теңдеуге қойып, алдын ала
функциясына қысқартып,
-тың
әртүрлі дәрежелерінің коэффициенттерін
теңестіретін болсақ,
-
коэффициенттері төмендегідей теңдеулерден
бірмәнді түрде анықталады:
(7)
Мұнда
,
өйткені
-саны
сипаттаушы теңдеудің түбірі емес.
-саны
сипаттаушы теңдеудің
-еселікті
түбірі болсын, яғни
(8)
Бұл
жағдайда дербес шешім
(9)
түрінде ізделінеді. Мұнда да (24) өрнекті (19) теңдеуге қоятын болсақ, -сандарын табу үшін төмендегідей алгебралық теңдеулер аламыз:
(10)
Мұнда
болғандықтан, барлық коэффициенттер
бір мәнді түрде анықталады.
Ескерту.
Егер (16) теңдеудің оң жағы тригонометриялық
квазиполином түрінде берілсе, яғни
түрінде
берілсе, онда
және
функцияларын Эйлер формуласы бойынша
түрінде жазып, алдыңғы жағдайға келтіруге болады.
22) Теңдеулер
үшін тұрақтыларды вариациялайтын
Лагранж әдісі.
Теңдеулер үшін
тұрақтыларды вариациялау әдісі
қолданылады. Ол үшін біртекті жүйенің
жалпы шешіміндегі тұрақты
векторын
- ға байланысты функция деп, біртексіз
жүйенің шешімін
(1)
түрінде іздейміз. Екі жағынан
туынды алып, берілген (1) жүйені пайдаланып,
мынандай теңдеу аламыз:
Ал
(2)тепе-теңдігін
ескерсек, онда
Осыдан
(3)
Бұл теңдеудің шешімі интегралдау арқылы былай жазылады:
(4)
мұндағы,
- тұрақты вектор. Табылған
- ның мәнін (4) – қатынасқа қойып, біртексіз
(1) жүйенің жалпы шешімін табамыз:
(5)
Бұл жалпы шешімдегі тұрақты
- векторын анықтау үшін формулада
деп алсақ, онда
.
Сондықтан
(6)
немесе Коши функциясын енгізсек, онда шешім мына түрде жазылады:
(7)
Бұл қатынас Коши формуласы
деп аталынады. Осындағы фундаменталь
матрицасы
нүктесінде нормаланған болса, яғни
болса, онда формула мына түрде жазылады:
Егер
матрицасы тұрақты болса, яғни
- тұрақты болса және
болса, онда
.
Бұл жағдайда жалпы шешім мына түрде
жазылады:
(8)
Соңғы формулада
- тұрақталған сан деп, ал
- векторын кез келген тұрақты вектор
деп қарастырсақ, онда (8) формула Коши
түріндегі жалпы