Решения / 8 семинар
.doc|
СЕМИНАР №8 «Характеристики случайных величин. Математическое ожидание. Дисперсия» (1 из 12) |
СЕМИНАР №8 «Характеристики случайных величин. Математическое ожидание. Дисперсия» (2 из 12) |
|
1. Задан закон распределения с.в. P{= –1}=1/2, P{=2}=P{=3}=1/4. Найти E. Указание: воспользоваться определением. Ответ 3/4. Решение:
2. Трое магов, собравшись пообедать в трактире, положили свои волшебные палочки на стол. Однако им пришлось срочно покинуть трактир, каждый из них уходя взял палочку со стола случайно. Найти математическое ожидание случайной величины , равной палочек, попавших к своему волшебнику. Указание. Занумеруем палочки цифрами 1, 2, 3. Запись 123 означает, что к i-му волшебнику попала палочка волшебника i. Тогда ={123, 132, 213, 231, 312, 321}, (123)=3, (132)=(213)=(321)=1, (312)=( 231)=0. Ответ 1. Решение:
3. Из урны, содержащей 4 белых и 6 черных, по схеме случайного выбора без возвращения извлекается 3 шара. Случайная величина i=1, если i-й шар белый, и i=0, если i-й шар черный, i=1,2,3. а) Найти E1, E12, E123. б) Найти математическое ожидание с.в. , равной числу белых шаров среди выбранных. Указание: а) E1=P{1=1}, E12=P{12=1}, E123=P{123=1}; б) =1+2+3. Ответ: 2/5, 2/15, 1/30. Решение: 4-белых, 6-чёрных; извлекают 3 шара без возвращения
|
4. Известно, что случайные величины , независимы, причем а) E=2, E=3. Найти E(3), E, E(+), E(3–2). б) D=4, D=3. Найти D(3), D(–2), D(+), D(–). Ответ: а) 6; 6; 5; 0 ; б) 36, 12, 7, 7. Решение:
5.(№8 второе) а) Случайные величины 1, 2,…. независимы и одинаково распределены: P{j=1}= P{j= –1}=1/4, P{j= 0}=1/2, j=1,2,….Пусть =1+…+n. Найти E, D. б) Пусть – сумма числа очков, выпавших при бросании n игральных костей. Найти Е, D. Ответ: а) 0, n/2 ; б) n7/2, n35/12. Решение:
|
Всего 8 вариантов.
|
СЕМИНАР №8 «Характеристики случайных величин. Математическое ожидание. Дисперсия» (3 из 12) |
СЕМИНАР №8 «Характеристики случайных величин. Математическое ожидание. Дисперсия» (4 из 12) |
|
б) Бросим n костей:
6. Известно, что E=1, E=2, E2=2, E2=8, E=1. Найти D, D, cov(, ), , , D(+). Являются ли величины , независимыми. Ответ: 1; 4; –1; –0.5; зависимы; 4. Решение:
Для независ.
7. Дискретная случайная величина принимает 3 возможных значения: х1=4 с вероятностью р1= 0,5; х2=6 с вероятностью р2= 0,3 и х3 с вероятностью р3. Найти х3 и р3 , зная E=8. Ответ: Решение:
|
8.
Пусть n
–число успехов в n
испытаниях схемы Бернулли с вероятностью
успеха p.
Найти закон распределения n,
E
n,
Dn.
Указание: i=1,
если в i-м
испытании успех, и i=0,
если неудача,
Решение:
9.
Найти E,
D
если: а)
б)
в)
|
.
1,
2,…,n–
независимые с.в. Тогда n=1+2+…+n.
Ответ: np;
np(1–p).
-число
успехов в n испытаниях
схемы Бернулли с вероятностью успеха
p.
-
успех в i-м испытании
-
неудача, i=1,n
,
,–
равномерное распределение;
,
k=1,2…,–
геометрическое
с параметром p,
0<p<1;
k=0,
1,…, –распределение Пуассона с
параметром >0.
|
СЕМИНАР №8 «Характеристики случайных величин. Математическое ожидание. Дисперсия» (5 из 12) |
СЕМИНАР №8 «Характеристики случайных величин. Математическое ожидание. Дисперсия» (6 из 12) |
|
Указание:
Воспользоваться формулами а)
Решение:
|
10.
Случайные величины 1,
2,…,
n
и 1,
2,…,n
независимы. Положим
Решение:
|
;
б)
,
;
в) D=E(–1)+
E–(
E)2
,
. Ответ: а) (n+1)/2,
n(2n+1)/6
; б) 1/p,
(1– p)/p2;
в) ,
.
,
.
Найти
,
,
,
,
,
если
,
,
,
.
Ответ:
=na,
=npa,
=n2,
=
np(2+a2q),
=np2.
|
СЕМИНАР №8 «Характеристики случайных величин. Математическое ожидание. Дисперсия» (7 из 12) |
СЕМИНАР №8 «Характеристики случайных величин. Математическое ожидание. Дисперсия» (8 из 12) |
|
11.
Пусть случайные величины 1,
2,…,
n,
n2,
независимы, положительны и одинаково
распределены. Показать, что
Решение:
|
Т.к.
Исходя из
предположения
12. Привести пример случайной величины, имеющей конечное математическое ожидание и бесконечную дисперсию. Решение: Случайная
величина
Тогда её мат. ожидание:
Дисперсия:
13. Обозначим
r
число циклов длины r
в подстановке, случайно выбранной из
множества всех n!
подстановок степени n.
Найти: а) E1
, D1;
б) Er,
r1.
Указание: а) Положить 1=1+2+…+n,
где i=1,
если i
i,
и i=0
–иначе,
|
.
Найти
.
Указание: Рассмотреть n
случайных величин
,
.
,
имеющая плотность распределения:
.
|
СЕМИНАР №8 «Характеристики случайных величин. Математическое ожидание. Дисперсия» (9 из 12) |
СЕМИНАР №8 «Характеристики случайных величин. Математическое ожидание. Дисперсия» (10 из 12) |
|
Тогда
Решение: НЕТ 14. . В Хогвартсе n учеников повесили свои мантии в гардеробе. В предположении, что мантии ученикам возвращаются случайно, найти математическое ожидание случайной величины , равной числу мантий, попавших к своим владельцам. Ответ: 1. Решение:
15.
Пусть урна содержит n
шаров,
занумерованных числами 1, 2,…,n
и извлекают k
шаров с возвращением. Обозначим 0(k,
n)
число непоявившихся номеров шаров.
Найти E0(k,
n).
Вычислить
Решение:
|
16. Сколько в среднем надо бросить игральную кость до появления шестерки? Ответ: 6 Решение: Событие
количества бросков, при которых не будет ни одной «6»:
бросить 5+1=6 раз (в среднем) 17.
Случайная величина
принимает только целые неотрицательные
значения. Доказать, что
Решение:
Событие
Очевидно, что
|
;
б) Положить
,
где ij=1,
если ij
i,
и ij==0
иначе. в) Написать формулу для r
аналогичную r=1
и r=2.
Ответ:
Er=1/r,
r1,
D1=1.
-число
мантий, попавших к владельцу
(индикаторы
попадания)
,
если k=n
(>0
– некоторая постоянная). Указание:
представить 0(k,
n)
в виде суммы индикаторов. Ответ:
.
- j-ый номер не появился
при извлечении.
- в течении k бросков нет
«6»;
- его индикатор.
Найду мат. ожидание (т.е. среднее
значение)
игральную
кость надо
.
принимает значения 1,2,3,4….
|
СЕМИНАР №8 «Характеристики случайных величин. Математическое ожидание. Дисперсия» (11 из 12) |
СЕМИНАР №8 «Характеристики случайных величин. Математическое ожидание. Дисперсия» (12 из 12) |
|
18. Разъезжающий булочник продает за одну поездку в среднем 20 кексов. Найти вероятность того, что он продаст четное число кексов. (Предполагается, что число покупок распределено по закону Пуассона.) Указание: сложить 1=e–e, e–2 = e– e– . Ответ: (1+ e–2)/2, =20. Решение: Смотри задачу
9 пункт в):
19.
Пусть А1,
А2,…–совокупность
событий, i–индикатор
события Аi,
i=1,2,..,
и
Указание.
Заметить, если
Решение: НЕТ 20.
а) В n
ячеек независимо друг от друга брошено
m
частиц. Вероятность попадания любой
частицы в k-ю
ячейку равна pk,
|
месяцев, на которые не приходится ни один день рождения. Указание
а) Положить 0=1+2+…+n,
где i=1,
если i-я
ячейка осталась пустой, и i=0
–иначе,
Ответ:
а) 0= Решение:
|
– число одновременно происходящих
событий из Аi,
i=1,2,...
Доказать, что
.
,
где все слагаемые принимают значения
0 и 1, то
(обосновать).
.Обозначим 0
число пустых ячеек. Найти E0,
D0.
б) В n
ячеек независимо друг от друга брошено
m
частиц. Вероятность попадания любой
частицы в k-ю
ячейку равна 1/n,
.Обозначим
0
число пустых ячеек. Найти E0,
D0.
в) В группе учатся 25 студентов.
Предполагая, что дни рождения студентов
независимы и равномерно распределены
по 12 месяцам года, найти математическое
ожидание и дисперсию числа
.
;
,
.
