Решения / 3 семинар

СЕМИНАР №3 «Формула сложения вероятностей. Урновые схемы» (1 из 10)

СЕМИНАР №3 «Формула сложения вероятностей. Урновые схемы» (2 из 10)

1. Брошено две игральные кости. Найти вероятность события D={что выпала хотя бы одна шестерка}. Задачу решить двумя способами: а) с помощью формулы сложения вероятностей, введя несовместные события; б) с помощью противоположного события.

Указание. а) Элементарным событием является пара чисел (i, j): i – число очков, выпавших на 1-й кости, j – число очков, выпавших на 2-й кости. Рассмотреть события

E₁={на 1-й кости выпала шестерка}, E₂={на 2-й кости выпала шестерка}.

Тогда D = E₁+ E₂. События E₁ и E₂–совместные.

б) Противоположное событие ={не выпало ни одной шестерки}. Событие состоит из всех элементарных событий (i, j), в которых i 6 и j6.

Ответ: 11/36

Решение:

а) A – 6-ка выпала на 1-ой кости; B – на 2-ой.

б) - 6-ка не выпала на 1-ой кости; - не выпала на 2-ой.

2. Брошено n игральных костей. Найти вероятности событий:

а) не выпала ни одна шестерка; б) выпала хотя бы одна шестерка; в) выпало ровно k, kn, шестерок.

Ответ: а) , б) , в) .

Решение: а) - на -той кости не выпало 6.

б)

в) k шестёрок: , где - сколько вариантов на выбор остальных.

3. В ящике 10 одинаковых карточек, на которых по одной написаны цифры 0, 1,…,9. Два раза с возвращением вынимается по одной карточке. Найти вероятности событий:

А={на вынутых карточках появились цифры «0», «0»},

B={на 2-й карточке появилась «9»},

C={ни на одной из вынутых карточек не было «5»},

D={появилась хотя бы одна «1»}.

Обобщить и решить задачу для n карточек, n10.

Ответ: P{А}=0.01, P{B}=0.1, P{C}=0.81, P{D}=0.19.

Решение: а) - 0 на 1-ой, - на 2-ой.

Для карточек:

б) - на 2-ой карточке “9”, (верно и для ).

в) - на - той карточке нет “5”.

г) - нет ни одной “1”.

4. Найти вероятность того, что в группе из n человек нет общих дней рождений. Считать, что в году m дней.

Указание. Выбираем упорядоченно без повторений из m дней n дней.

Ответ: m(m–1)…(m–n+1)/mⁿ.

СЕМИНАР №3 «Формула сложения вероятностей. Урновые схемы» (3 из 10)

СЕМИНАР №3 «Формула сложения вероятностей. Урновые схемы» (4 из 10)

Решение: 1) Можно выбрать для 1-го - дней, 2-го - дней… -го - дней – это будет искомая ситуация.

2) В общем случае можно для 1-го выбрать дней, для 2-го - дней и т.д. .

5. Найти вероятность того, что в группе из 6 человек 1) ни у кого нет дня рождения в январе и декабре; 2) хотя бы два человека родились в один месяц.

Ответ: а) , б) .

Решение: а) У каждого вероятность того, что человек родился не в декабре и январе, равна

б) - искомое событие. - то, что ни у кого месяцы не совпадают.

. Всего способов выбора

6. Пусть урна содержит N шаров, занумерованных числами 1, 2,…,N и извлекают n шаров с возвращением. Пусть X_n– число появлений среди n шаров шара с номером 1. Найти P{X_n>0}. Ответ:1– .

Решение: - число появлений среди шаров шара “1”. Всего их можно выбрать способами, если получилось , то:

Каждый раз можно вытянуть чисел (все числа кроме “1”),

Имеем вариантов извлечь шары без единицы.

, тогда

7. Известно, что P{B}=b, P{A+B}=c. Найти вероятности а) P{}, б) P{}.

Указание. Воспользоваться равенствами P{А}=P{AB}+P{}, P{A+B}=P{A}+P{B}–P{AB}. Ответ: а) c–b б) 1– c.

Решение:

а)

б)

8. Дворцовый чеканщик кладет в каждый ящик вместимостью в 100 монет одну фальшивую. Король подозревает чеканщика и подвергает проверке монеты, взятые наудачу по одной в каждом из 100 ящиков. Какова вероятность, что чеканщик не будет разоблачен? Каков ответ, если 100 заменить на n. Найти вероятность при n.

Ответ: .

Решение:

В ящике монет и 1 из них фальшивая, вероятность того, что в одном ящике фальшивую не найдут (т.е. ), учитывая, что всего ящиков имеем:

СЕМИНАР №3 «Формула сложения вероятностей. Урновые схемы» (5 из 10)

СЕМИНАР №3 «Формула сложения вероятностей. Урновые схемы» (6 из 10)

9. События A и B независимы, P{А}=p, P{B}=q. Найти вероятность появления наступления только одного из этих событий.

Указание: С=+. Ответ: p(1– q)+q(1– p).

Решение:

Поскольку события независимы,

имеем

10. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого равна 0.7, для второго –0.8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадет только один стрелок. Ответ: 0.38.

Решение:

11. а) Доказать, если событие A влечет наступление события С, то P{С}P{А}.

б) Наступление события AB влечет наступление события С. Доказать, что

P{А}+ P{B}– P{С}1.

Указание: а) С=A+, б) А=AB+.

Решение: а) т.к. событие С влечёт А, для любого имеем:

если то

если то

б) АВ влечёт С

Из а) тогда

12. Вы задались целью найти человека, день рождения которого совпадает с вашим. Сколько незнакомцев n вам придется опросить, чтобы вероятность встречи такого человека была не меньше, чем 1/2? Считать, что в году m дней. Найти численное значение для m=365.

Указание. См. задачу 6. Для оценки использовать аппроксимацию . Ответ: n m ln 2.

Решение: Вероятность совпадения равна:

, где - день рождения

13. При каком минимальном числе r людей в компании вероятность того, что хотя бы два из них родились в один и тот же день, не меньше 1/2? Считать, что в году m дней. Найти численное значение для m=365.

Указание. См. задачу 5. Для оценки использовать аппроксимацию , 0kr.

Ответ: , k23.

Решение: Вероятность несовпадения ДР у 2 людей, при дней в году:

;

СЕМИНАР №3 «Формула сложения вероятностей. Урновые схемы» (7 из 10)

СЕМИНАР №3 «Формула сложения вероятностей. Урновые схемы» (8 из 10)

14. Какую долю составляют инъективные отображения среди всех отображений k-элементного множества в n-элементное? Как связан этот вопрос с задачами о днях рождениях?

Решение: Инъективных отображений здесь Всех отображений

Доля инъективных равна и равна вероятности того, что в группе из людей не будет совпадающих ДР(в году дней).

15. Известно, что P{X10}=0.9, P{|Y|1}=0.95. Доказать, что при любой зависимости между X и Y для Z=X +Y имеются следующие неравенства:

P{Z11}0.85, P{Z9}0.95

Указание. Из Z=X +Y следует: Z X+|Y|, Z X–|Y|, P{Z11} P{X10 и |Y|1}. Решение:

16. Для уменьшения общего количества игр 2n команд спортсменов разбили на две группы. Определить вероятность того, что две наиболее сильные команды окажутся в разных: а) в разных подгруппах; б) в одной подгруппе.

Ответ: а) ; б).

Решение: Всего способов укомплектовать группы: - взять команд из .

а) В разных группах: Нужно взять одну команду сильную из 2-ух:

, и из :

б) В одной группе: Две команды из двух сильнейших:

, и из :

17. Объяснить следующие парадоксы.

а) Правильная игральная кость при бросании с равными вероятностями падает на любую из 6 граней. В случае бросания двух костей сумма выпавших чисел заключена между 2 и 12. Как 9, так и 10 из чисел 1,…,6 можно получить двумя разными способами: 9=3+6=4+5 и 10=4+6=5+5. В задаче с тремя костями и 9, и 10 получаются 6 способами. Почему тогда 9 появляется чаще при бросании двух костей, а 10 – при трех.

б) Парадокс де Мере. При четырех бросаниях одной игральной кости вероятность того, что по крайней мере один раз выпадет 1, больше 1/2. В то же время при 24 бросаниях двух костей вероятность выпадения двух 1 одновременно (по крайней мере однажды) меньше 1/2. Это кажется удивительным, так как шансы получить одну 1 в шесть раз больше, чем шансы выпадения двух 1, а 24 как раз в 6 раз больше 4.

СЕМИНАР №3 «Формула сложения вероятностей. Урновые схемы» (9 из 10)

СЕМИНАР №3 «Формула сложения вероятностей. Урновые схемы» (10 из 10)

Решение: а) две кости:

а) три кости:

Значит

Значит

б) - “1” не выпадет при бросании раз одной кости:

- “1” не выпадет одновременно при бросании раз двух костей:

- зависимость от нелинейная.

б) Кидают одну кость раз: хотя бы 1-н раз выпадет “1”:

Кидают две кости раз: хотя бы 1-н раз выпадут обе “1”:

Для =4, =24: Это и есть парадокс!