Решения / 1 семинар

Семинар №1 «Классическое определение вероятности» (1 из 6)

Семинар №1 «Классическое определение вероятности» (2 из 6)

0. Буквенный замок содержит на общей оси пять дисков, каждый из которых разделен на 6 секторов с разными нанесенными на них буквами. Замок открывается только в том случае, если каждый диск занимает одно определенное положение относительно корпуса замка. Определить вероятность открытия замка, если установлена произвольная комбинация букв. Ответ: 1/6⁵.

Решение:

Комбинации складываются из вариантов: ,

1. Брошены две одинаковые монеты. Найти вероятность того, что две монеты выпали разными сторонами. Подсказка: ={ГГ, РГ, ГР, РР}.Ответ: 1/2.

Решение:

,

2. Брошено три монеты. Описать множество всех элементарных событий. Найти вероятности событий:

1. A={не выпало ни одного герба},

2. B={выпало четное число гербов},

3. С={на 3-й монете выпал герб}.

Ответ: P{A}=1/8, P{B}=P{C}=1/2.

Решение:

a) ;

b)

c)

3. Брошено две игральные кости. Описать множество элементарных событий. Найти вероятности событий:

1. A={выпало две «шестерки»},

B={сумма выпавших очков не меньше 11},

2. С={не выпала ни одна «шестерка»}.

Ответ: P{A}=1/36, P{B}=1/12, P{C}=25/36.

Решение:

Всего комбинаций: , т.е.

a) , т.е.

b) , т.е.

c) , т.е.

4. Из ящика, содержащего три билета с номерами 1, 2, 3 вынимают по одному все три билета. Предполагается, что все последовательности номеров билетов имеют одинаковые вероятности. Найти вероятность, что хотя бы у одного билета порядковый номер совпадает с собственным. Ответ: 2/3.

Решение:

Три билета 1, 2, 3.

5. Из двух претендентов E и L на ответственную должность три члена комиссии должны отобрать одного. Каждый член комиссии должен указать одного достойного, либо забраковать обоих. Претендент считается выбранным, если он был признан достойным хотя бы двумя членами комиссии. Найти вероятности событий:

1. A={рекомендован L},

2. B={рекомендован E}.

Подсказка: Каждый член комиссии принимает одно из трех решений: E–рекомендовать претендента E, L–рекомендовать претендента L, O–никого не рекомендовать. Решение комиссии можно записывать тройками, составленными из этих трех символов: OLE – 1-й член комиссии никого не рекомендовал, 2-й рекомендовал L, 3- рекомендовал E. Тогда ={EEE, LEE,…}. Ответ: P{A}= P{B}=7/27.

Решение:

Варианты E, L, O.

Вероятности рекомендации L и E равны, поэтому ищем только одну:

Семинар №1 «Классическое определение вероятности» (3 из 6)

Семинар №1 «Классическое определение вероятности» (4 из 6)

6. В ящике, содержащем n шаров, k синих шаров. Определить вероятность того, что среди выбранных случайно m шаров ровно r окажутся синими. Ответ: .

Решение:

Вероятность того, что среди m шаров окажутся r синих: ;

Необходимо: r синих из k синих, (m-r) шаров из (n-k) шаров:

7. Из множества всех последовательностей длины n, состоящих из цифр 0, 1, 2 случайно выбирается одна. Найти вероятности событий:

1. A={последовательность начинается с 0},

2. B={последовательность содержит ровно m+2 нуля, причем 2 из них находятся на концах последовательности}, 0mn–2,

3. C={последовательность содержит ровно m единиц}, 0mn,

4. D={последовательность содержит ровно m₀ нулей, m₁ единиц, m₂ двоек}, m₀+m₁+m₂=n.

Ответ: P{A}=1/3, P{B}=, P{C}=, P{D}=.

Решение:

a)

b) . Тогда m нулей на n-2 местах

c) , т.к. на (n-m) местах возможны 2 элемента: 0 и 2.

d)

8. Колода из 36 карт хорошо перемешана (т.е. все возможные расположения карт равновероятны). Найти вероятности событий:

1. A={четыре туза расположены рядом},

2. B={места расположения тузов образуют арифметическую прогрессию с шагом 7}.

Ответ: P{A}=1/1785 , P{B}=1/3927.

Решение:

Колода из 36 карт, т.е.

b)

Значит

9. В ящике лежат красные и черные шары. Если из ящика случайно вытаскивают два шара, то вероятность того, что они оба красные, равна 1/2.

1. Каково минимально возможное число шаров в ящике?

2. Каково минимально возможное число шаров в ящике, если число черных шаров четное?

Ответ: a) 4, b) 21.

Решение:

Два шара можно выбрать из красных

Семинар №1 «Классическое определение вероятности» (5 из 6)

Семинар №1 «Классическое определение вероятности» (6 из 6)

Два шара из шаров:

Наименьшее =3, =4, значит минимальное кол-во шаров 4.

Пусть чёрных шаров . Тогда (чётность или нечётность количества красных шаров такая же, как и всех).

1) =3, =5 - мало

2) =4, =6 - мало

3) =5, =7 - мало

4) =6, =8 - перебор

=6, =10 - мало

и т.д.

Получим =15, =21

10. Чтобы подбодрить сына, делающего успехи в теннисе, отец обещает ему приз, если он выиграет подряд по крайней мере две теннисные партии против своего отца и клубного чемпиона по одной из схем: отец–чемпион–отец или чемпион–отец–чемпион по выбору сына. Чемпион играет лучше отца. Какую схему выбрать сыну? Ответ: вторая схема.

Решение:

Пусть p – вероятность выиграть у чемпиона, q – вероятность выиграть у отца. , тогда .

, значит

Необходимо играть по схеме чемпионт-отец-чемпион.

11. В жюри из трех человек два члена независимо друг от друга принимают правильное решение с вероятностью p, а третий для вынесения решения бросает монету (окончательное решение принимается большинством голосов). Жюри из одного человека выносит справедливое решение с вероятностью p. Какое из этих жюри выносит справедливое решение с большей вероятностью? Ответ: Оба типа жюри.

Решение:

справедливое решение с большей вероятностью выносят оба типа жюри.