Решения / 7 семинар

Семинар №7 «Случайные величины» (1 из 12)

Семинар №7 «Случайные величины» (2 из 12)

1. В лотерее имеется 10 билетов, из которых один выигрышный. Размер выигрыша 10 рублей; стоимость билета 1 рубль. Найти распределение случайной величины , равной чистому выигрышу участника лотереи, который вытаскивает билет первым. Указание. Для удобства будем считать, что билеты занумерованы и что билет 1– выигрышный. ={1, 2,…,10}. (1)=9, (j)= –1, j=. P{=9}=|{j: (j)=9}|/||, P{=–1}=|{j: (j)=–1}|/||. Ответ. P{=9}=1/10, P{= –1}=9/10.

Решение:

Выигрыш 1 билет из 10-ти. Тогда чистый выигрыш либо 9, либо -1, следовательно P{=9}=1/10, P{= –1}=9/10.

2. Из ящика с 10 одинаковыми карточками, на которых написаны цифры 0,1,…,9 два раза с возвращением вынимаются по одной карточке. Введем случайные величины: ₁– цифра на 1-й карточке, ₂– цифра на 2-й карточке, = ₁+₂. Найти распределение случайных величин ₁, ₂, . Найти вероятность события {2}. Нарисовать график функции распределения с.в. ₁. Указание. ={ (i, j): i, j =0, 1,…,9}. ₁(i, j)= ₁(i), ₂(i, j)= ₂(j), (i, j)= i+j. {=k}={(0, k), (1, k–1),…, (k, 0)}, 0k9; {=9+k}= {(k, 9), (k+1, 8),…, (9, k)}, 1k9.Ответ:P{₁=k}=P{₂=k}=0.1,P{=k}=(k+1)/100,0k9, P{=k}= =(10– k)/100, 1k9, P{2}=0.06.

Решение:

Цифра на 1-ой карточке: P{₁}= 1/10, цифра на 2-ой: P{₂}=1/10. Сумма цифр равна k,тогда возможны случаи: (0,k),(1,k-1),…,(k-1,1), (k,0) – их количество k+1-или (9,k),(8,k+1),…,(k+1,8),(k,9). Тогда P{₁₊₂=k}= k+1/100 ( т.к. всего 100 способов); . P{ }=

=1/100 + 2/100 + 3/100= 6/100; P{=k)=(10-k)/100 ; .

3. В опыте, описанном в задаче 2, введем случайную величину , равную числу четных чисел на вынутых карточках. Величины ₁ и ₂ определим равенствами: ₁=1, если на 1-й карточке четная цифра, и ₁=0 в противном случае; ₂=1, если на 2-й карточке четная цифра, и ₂=0 в противном случае. Найти законы распределения ₁, ₂, .

Проверить, что =₁+₂. Нарисовать график функции распределения с.в. .

Ответ: P{=0}=P{=2}=1/4, P{=1}=1/2, P{₁=0}=P{₂=0}=1/2.

Решение:

; в зависимости от 1-ой карточки(чёт-нечёт).

, , ; .

4. Брошено две игральные кости. Найти закон распределения случайной величины , равной сумме выпавших очков. Найти вероятность событий: {4}, {>4}. Ответ: P{=k}=(k–1)/36, 2k7, P{=k}=(13–k)/36, k>7. P{4}=1/6.

Решение:

число на 1-ой кости, число на 2-ой кости; , где . Если : (k,1),(k-1,2),…,(2,k-1),(1,k)-всего k-1; тогда

, где ; если , то =

=(13-k)/36, . При => =1/36+2/36+3/36=6/36= =1/6.

5. Из урны, содержащей n шаров, среди которых m белых и n –m черных, извлекают k шаров. Определить закон распределения числа  белых шаров, среди выбранных по схеме случайного выбора а) без возвращения; б) с возвращением. а) гипергеометрическое распределение; б) .

Решение:

Всего n шаров, m белых и n-m чёрных. Извлекаем k шаров. а) Необходимо вытащить : i белых шаров из m белых, (k-i) чёрных из (n-m) чёрных. Всего вариантов вытаскивания : . Получаем - гипергеометрическое распределение.

Семинар №7 «Случайные величины» (3 из 12)

Семинар №7 «Случайные величины» (4 из 12)

Решение:

Всего n шаров, m белых и n-m чёрных. Извлекаем k шаров. а) Необходимо вытащить : i белых шаров из m белых, (k-i) чёрных из (n-m) чёрных. Всего вариантов вытаскивания : . Получаем - гипергеометрическое распределение.

б) Схема Бернулли: k испытаний, i успехов, , => .

6. а) Случайная величина принимает значения x₁= –1, x₂=0, x₃=1 с вероятностями c, 2c, 3c. Найти c.

б) Найти закон распределения случайной величины , если , n=1,2,….

в) Найти закон распределения случайной величины , если , n=1,2,… Ответ: c=1/6, c=1, c=4.

Решение:

а), , , но выпадают только значения {-1,0,1}, т.е. =1=6c=>c=1/6;

б) , n=1,2,…Получаем:1=

= с

в)

.

7. Для случайной величины , имеющей а) геометрическое распределение вероятностей, найти P{k} (воспользоваться геометрической прогрессией); б) пуассоновское распределение, найти P{>0}; в) биномиальное распределение с n=5, p=1/3 , найти P{24}. Ответ: (1–p)^k–1; 1–e^–, 130/243.

Решение:

а)==

= . б) . в) .

8. Дискретная случайная величина  задана законом распределения P{= –1}=0.3; P{= –2}=0.1, P{= 1}=0.2, P{= 2}=0.4, найти закон распределения случайной величины =². Ответ: P{=1}= P{=4}=1/2.

Решение:

=0,3+0,2=0,5=>

.

9. Задана плотность распределения _(x) случайной величины , принимающей значения из (0, +). Найти плотность распределения _(x) случайной величины , если а) =e^{– }; б) =ln(); в) =³ ; г) =1/²; д) =. Ответ: а) _(x)=(1/x) _(ln(1/x)), 0<x<1; б) _(x)=, (–<x<+); в) _(x)=, (0<x<+); г) _(x)=, (0<x<+); д) _(x)= , (0<x<+).

Семинар №7 «Случайные величины» (5 из 12)

Семинар №7 «Случайные величины» (6 из 12)

Решение:

а) , ,

. б) , ,

, . в)

x>0; .г) , ;.д)

; .

10. Задана плотность распределения _(x) случайной величины , принимающей значения из (–, +). Найти плотность распределения _(x) случайной величины , если а) =²; б) =; в) =||; г) =1/(1+²).

Ответ: а) , (0<x<+); б) , (0<x<1); в) , (0<x<+); г) , (0<x<1).

Решение:

a) -разбиваем её на на () и на (). Получаем:

.

б)

; :, ; :

,. Т.к. ,то ,

=

=,.

в) , , ;

->, ; = =

=. г) , ; , ,,

Семинар №7 «Случайные величины» (7 из 12)

Семинар №7 «Случайные величины» (8 из 12)

=>

=>,.

11. На квадрат ={(u, v): | u| 1, | v | 1} брошена точка. Определим случайные величины , , :

, ,

Найти: а) вероятность событий P{>0}, P{=1}, P{>1}; б) функцию распределения и плотность распределения с.в. ; в) закон распределения с.в. .

Ответ: P{>0}=1/2, P{=1}=/16, P{>1}=1–/4, F_(x)= (x+1)/2, _(x)=1/2, –1x1.

Решение:

a) -очевидно, =>

. б) ,

; в) =

=.

12. Плотность распределения с.в.  задана формулой

Найти: а) постоянную c; б) плотность распределения ; в) P{0.1<<0.2}.

Ответ: c =1/2, _(x)=, 0<x1, .

Решение:

а). Однако, не существует.

: по условию получаем, чтоимеет аргумент ,

Семинар №7 «Случайные величины» (9 из 12)

Семинар №7 «Случайные величины» (10 из 12)

=>при

в)

13. Построить пример такого абсолютно непрерывного распределения случайной величины , задаваемого плотностью распределения _(x), и такое непрерывной функции g(x), что распределение случайной величины =g() не вырождено и дискретно.

Нет решения.

14. Случайная величина  имеет показательное распределение с параметром : P{x}=1–e^x (x0). Найти плотности распределения случайных величин: a) ; б) ; в) ; г) , {z}–дробная часть числа z; д) .

Ответ: (x>0); (x>0); (–<x<+); 0x1; 1 (x[0,1]).

Решение:

;

Из нормировки вытекает, что

г)

x

Семинар №7 «Случайные величины» (11 из 12)

Семинар №7 «Случайные величины» (12 из 12)

15. Случайная величина  равномерно распределена на [0,1]. Найти плотность распределения случайных величин: a) ; б) ; в) .

Ответ: 1/2 (x[1,3]); e^–x (x>0); (–<x<+).

Решение:

По условию =>

б)

в)

16. Случайная точка B имеет равномерное распределение на окружности x²+(y–a)²=r² с центром в точке A=(0, a), а случайная точка C=(, 0) является пересечением оси абсцисс с прямой, проходящей через A и B. Найти функцию распределения и плотность распределения случайной величины . (Распределение  называется распределением Коши). Ответ: , (–<x<+).

Решение:

Пусть V_n– n-мерное векторное пространство над полем из двух

элементов GF(2). Операцию сложения в GF(2) будем обозначать . Вектор a=(a₁,…, a_n) будем отождествлять с числом . Весом Хэмминга w(a) называется число ненулевых компонент вектора a.

-угол между осью оу и АВ

Но a может быть <0 =>

Из нормировки

17. Пусть a, b– случайные независимые векторы с равномерным распределением на V_n, c=a+b (mod 2ⁿ).

Доказать, что , .

Решение:

Для того, чтобы необходимо, чтобы лишняя единица не перекидывалась на m-ый разряд, т.е. . При наличии в k-ом разряде не важно, что будет в остальных старших разрядах. Вероятность комбинации (10)

=> =1/4+1/2[1/4+1/2(…+1/2(1/4+

+1/2))]=// 1-ая сумма ¼+1/2-m+1 разряд, следующая m+2, и т.д. до n-ого разряда//=

=1/4+1/8+1/16+…+1/4 +1/4 = (1+…+ )+

+= =