Решения / 10 семинар

Семинар №10 «Закон распределения и характеристики n-мерных случайных величин I.» (1 из 12)

Семинар №10 «Закон распределения и характеристики n-мерных случайных величин I.» (2 из12)

1. Закон распределения двухмерного вектора (₁, ₂) задается таблицей:

1 2	–1	0	1
–2	1/8	1/4	1/8
2	1/12	1/3	1/12

Найти закон распределения случайной величины а) ₁; б) P{₂0}; в) =₁+₂; г) =min(₁, ₂); д) =max(₁, ₂); e) =₂²; ж) =₁²+₂.

Указание: а) –в) по формулам; г) с.в.  с положительной вероятностью может принимать следующие значения –2, –1, 0, 1. При этом P{=–2}=P{min(₁, ₂)= –2}= P{₁=–2}=1/2, P{= –1} = P{min(₁, ₂)= –1}= P{₂=–1, ₁–1}= P{₂=–1, ₁=2}=1/12.

Ответ: а) P{₁=–2}= P{₁=2}=1/2; б) 19/24; в)

г) P{=–2}=1/2, P{=–1}= P{=1}=1/12, P{=0}=1/3;

д)

е) P{=0}=7/12, P{=1}=5/12; ж) P{=3}=5/24, P{=4}=7/12, P{=5}=5/24.

Решение:

а)

б)

в) и т.д.

г)

д)

е)

ж)

2. Закон распределения двухмерного вектора (₁, ₂) задается таблицей:

1 2	–1	0	2
–2	1/6	1/3	0
2	1/16	1/6	1/6

Найти закон распределения случайной величины а) ₁=max(₁, ₂); б) ₂=max(1, ₁+₂).

Ответ: а) P{₁=–1}=1/6, P{₁=0}=1/3, P{₁=1}=1/2; б) P{₂=1}=2/3, P{₂=0}=1/6, P{₂=1}=1/6;

Решение:

а)

Семинар №10 «Закон распределения и характеристики n-мерных случайных величин I.» (3 из 12)

Семинар №10 «Закон распределения и характеристики n-мерных случайных величин I.» (4 из 12)

б);

3 Закон распределения двухмерного вектора (₁, ₂) задается равенствами

, k=0, 1, 2,…; j=0, 1, 2,…,

где 0<p<1, >0.

Указание: воспользоваться формулой для геометрической прогрессии и . Ответ: , .

Решение:

Допустим,тогда

а , значит (при этом ), а

4. Величины ₁, ₂ независимы; P{₁=0}= P{₁=1}=1/2, ₂ равномерно распределена на отрезке [0, 1]. Найти закон распределения величины =₁+₂. Указание: {₁+₂x}={₂x, ₁=0}+{₁x, ₂=0}.

Ответ: _(x)=1/2, x [0,2].

Решение:

Получаем: на [0,1]

5 Одновременно подбрасывают две игральные кости. Пусть _i– число очков, выпавших на i-ой игральной кости, =₁+₂. Найти а) P{>9}; б) совместный закон распределения вектора (₁, ); в) P{₁2, >9}. Указание: в) Показать P{>9}= P{₁2, >9}+ P{₁<2, >9}= P{₁2, >9}.

Ответ: а) 1/6; б) P{₁=j, =i}=1/36, если 1i–j6, , ; в) 1/6.

Решение:

а)

б)

Если j-i=от 1 до 6; В случае j=12 i=6

в) , так как при

6 Законы распределения независимых случайных величин ,  заданы таблицами

Семинар №10 «Закон распределения и характеристики n-мерных случайных величин I.» (5 из 12)

Семинар №10 «Закон распределения и характеристики n-мерных случайных величин I.» (6 из 12)

Найти закон распределения случайных величин а) ₁=max(, ); б) ₂=min(, ); в) ₃=+.

Указание: а) Воспользоваться равенствами P{k}=P{k}P{k}, P{=k}=P{k}–P{k–1}.

б) Воспользоваться равенствами P{k}=P{k}P{k}, P{=k}=P{k}–P{k+1}.

Ответ:

k	1	2	3	4	5
P{3= k}	0,1	0,19	0,37	0,19	0,15

Решение:

а)

б)

в)

7 Игральная кость подбрасывается k раз. Пусть _i, – число очков, выпавших на i-ой игральной кости. Найти закон распределения случайных величин: а) ₁=max(₁, ₂,…, _k); б) ₂=min(₁, ₂,…, _k); в) ₃=max(4, ₁); д) ₃=max(4, ₁).

Указание: а) Воспользоваться равенствами P{₁=l}=P{₁l}–P{₁l–1}, , и

{₁l}={_il , }, P{₁l}=. б) вычислить P{₂>l}.

Ответ: а) , ; б) , ;

Решение:

а)

б)

Семинар №10 «Закон распределения и характеристики n-мерных случайных величин I.» (7 из 12)

Семинар №10 «Закон распределения и характеристики n-мерных случайных величин I.» (8 из 12)

в)

г)

8 Случайные величины ₁, ₂ независимы и имеют распределение Пуассона с параметрами ₁, ₂. Найти закон распределения с.в. =₁+₂. Указание: Воспользоваться равенством . Ответ: , =₁+₂.

Решение:

9 Пусть , – случайные величины. Доказать,

а) если =a+b, где a, b–произвольные константы, то ,

б) .

Решение:

а)

б)

10. Случайные величины ,  обладают конечными дисперсиями: D=, D=. Указать пределы, в которых может изменяться D(+). Ответ: (₁–₂)² D(+) (₁+₂)²

Семинар №10 «Закон распределения и характеристики n-мерных случайных величин I.» (9 из 12)

Семинар №10 «Закон распределения и характеристики n-мерных случайных величин I.» (10 из 12)

Решение:

11. Доказать, что ковариация является линейной функцией своих аргументов, т.е. cov(₁+₂, )= cov(₁, )+ cov(₂, ), cov(, ₁+₂)= cov(, ₁)+ cov(, ₂).

Решение:

т.к.

12 Случайные величины , независимы, одинаково распределены и имеют дискретное распределение. P{=x_k}= P{=x_k}=p_k. Найти P{=}. Ответ: .

Решение:

(по смыслу: или обе величины равны , или обе и т. д. до)

13 Закон распределения двухмерного вектора (₁, ₂) задается таблицей:

1 2	–1	0	1
–2	0,2	0,1	0,2
1	0,1	0,2	0,2

Найти E₁₂, cov(₁, ₂), D(₁+ ₂). Ответ: 0,1; 0,15; 2,5.

Решение:

а)

б)

14 Закон распределения двухмерного вектора (₁, ₂) задается таблицей:

1 2	–1	3
0	1/3	1/6
2	1/4	1/4

Пусть =max(₁, ₂). Найти E₁₂, cov(₁, ₂), D(₁+ ₂), E, D. Ответ: 0,1; 0,15; 2,5; 7/4; 27/16.

Решение:

Семинар №10 «Закон распределения и характеристики n-мерных случайных величин I.» (11 из 12)

Семинар №10 «Закон распределения и характеристики n-мерных случайных величин I.» (12 из 12)

16 (Тождество Вальда). Пусть случайные величины ₁, ₂,… независимы и одинаково распределены, E|_k|<. Пусть s_=₁+₂+…+_, где –случайная величина, принимающая только целые неотрицательные значения с E<. Показать, что Es_=E₁E.

Указание: Воспользоваться задачей 8.17.

Решение:

идентификаторы события v>>i(если v>>I,то )

18 Пусть ₁, ₂,…,_n– случайные величины такие, что E_j=0, D_j=1, j=. Доказать, если эти величины одинаково коррелированны, т.е. (_i, _j)=c при любых i, j{}, , то .

Указание: воспользоваться неотрицательностью дисперсии.

Решение:

Всего сочетаний из чисел можно выбирать упорядоченно пар n(n-1); способов; неупорядоченно можно выбирать в 2 раза меньше;пар. Т.е.слагаемых будет