Решения / 11 семинар

СЕМИНАР №11 «Закон распределения и характеристики n-мерных случайных величин II» (1 из 16)

СЕМИНАР №11 «Закон распределения и характеристики n-мерных случайных величин II» (2 из 16)

1. Случайная точка (, ) равномерно распределена в квадрате B={0x, y 4}. Найти _,(x, y), F_(x), P{–2<<2, 1<3}.

Указание: P{–2<<2, 1<3}=; F_(x)= при 0<x4.

Ответ. _,(x, y)=1/16 при (x, y)B, _,(x, y)=0 при (x, y)B; P{–2<<2, 1<3}=1/4; F_(x)=0 при x0, F_(x)=x/4 при 0<x4, F_(x)=1 при x>4.

Решение:

- случайное распределение в

y

2. Случайная точка (, ) равномерно распределена внутри круга B={(x, y)| }. Найти _,(x, y), _(x).

Ответ: _,(x, y)=1/r² при (x, y)B, _,(x, y)=0 при (x, y)B; _(x)=при |x|r, _(x)=0 при |x|>r.

Решение:

- случайное распределение в

но

a).

СЕМИНАР №11 «Закон распределения и характеристики n-мерных случайных величин II» (3 из 16)

СЕМИНАР №11 «Закон распределения и характеристики n-мерных случайных величин II» (4 из 16)

И если .

б).

Если , то

3. Совместная плотность распределения случайных величин ,  имеет вид

а)

Найти c, _(x), P{>2}.

б)

Найти c, _(x), P{>1}.

Ответ: а) c=1/216, _(x)=(x+3)/36 при x[0, 6], _(x)=0 при x[0, 6], P{>2}=11/18; б) c=3/32, _(y)=3y²/16 +1/4 при y[0, 2], _(y)=0 при y[0, 2], P{>1}=11/16.

Решение:

Нет решения.

4. Совместная плотность распределения случайных величин ,  имеет вид

а)

б)

в)

, – <x , y<+.

СЕМИНАР №11 «Закон распределения и характеристики n-мерных случайных величин II» (5 из 16)

СЕМИНАР №11 «Закон распределения и характеристики n-мерных случайных величин II» (6 из 16)

Зависимы или нет случайные величины , . Найти _(x).

Указание: а) Найти _(x), _(y) и проверить, что ; б) Воспользоваться тем, что функция является плотностью стандартного нормального распределения и, следовательно, .

Ответ: а) _(x)=2x при x[0, 1], _(x)=0 при x[0, 1],

независимы; б)–в) _(x)=, независимы.

Решение:

а)

Найдем

и - независимы.

б)

и - независимы.

в)

5. Совместная плотность распределения случайных величин ,  имеет вид

а)

б)

Найти .

Ответ:

a) = при z[0, ],=0 при z[0, ].

б) = при z[0, /2], =при z(/2, ], =0 при z[0, ].

СЕМИНАР №11 «Закон распределения и характеристики n-мерных случайных величин II» (7 из 16)

СЕМИНАР №11 «Закон распределения и характеристики n-мерных случайных величин II» (8 из 16)

Решение:

а)

Соответственно при .

б)

Соответственно при .

6. Случайные величины ,  независимы и

а)

б) равномерно распределены на отрезке [0, 1].

в)

Найти , .

Указание. б) F_–(y)=P{–y}=1–P{<–y} и _–(y)=1 при y[–1, 0], _–(y)=0 при y[–1, 0], =. = при z[0, 1], = при z(1, 2].

Ответ:

a) =ze^–z при z0, =0 при z<0, .

б) =z при z[0, 1], =2–z при z(1, 2], =0 при z[0, 2]; =z+1 при z[–1, 0], =1–z при z(0, 1], =0 при z[–1, 1].

Решение:

а)

и - независимы.

Получаем:

, при z<0

б) и - равномерно распределены на .

Указания:

СЕМИНАР №11 «Закон распределения и характеристики n-мерных случайных величин II» (9 из 16)

СЕМИНАР №11 «Закон распределения и характеристики n-мерных случайных величин II» (10 из 16)

Имеем:

и , если .

в)

Соответственно , при .

7. Пусть , – независимые случайные величины с функциями распределения F_(x) и F_(y) соответственно. Найти функцию распределения случайной величины а) =max(, ); б) =min(, ).

Указание: F_(z)=P{ z}= P{ max(, ) z}= P{ z ,  z}.

Ответ: а) F_(z)=F_(z)F_(z); б) F_(z)=1–(1–F_(z))(1–F_(z)).

Решение:

] и - случайные независимые величины с функциональным распределением и .

а)

б)

8. Совместная плотность распределения случайных величин ,  имеет вид

Найти функцию распределения случайной величины а) =max(, ); б) =min(, ).

Ответ:

Решение:

и - случайные независимые величины

а). - плотность распределения. - ?

СЕМИНАР №11 «Закон распределения и характеристики n-мерных случайных величин II» (11 из 16)

СЕМИНАР №11 «Закон распределения и характеристики n-мерных случайных величин II» (12 из 16)

Соответственно , при .

б).

Соответственно , при .

При

10. Совместная плотность распределения случайных величин ,  имеет вид

Пусть =². Найти E, E, cov(, ).

Ответ: E=2/3, E=1/3, cov(, )=0.

Решение:

11. Совместная плотность распределения случайных величин ,  имеет вид

Найти E(1–). Ответ: 1/6.

Решение:

12. Совместная плотность распределения случайных величин ,  имеет вид

Найти c, E(² +²). Ответ: c=3/8, E(² +²)=14/5.

СЕМИНАР №11 «Закон распределения и характеристики n-мерных случайных величин II» (13 из 16)

СЕМИНАР №11 «Закон распределения и характеристики n-мерных случайных величин II» (14 из 16)

Решение:

13. Совместная плотность распределения случайных величин ,  имеет вид

Найти E, D, ковариацию и корреляцию случайных величин , .

Ответ: E=7/12, D=11/144, cov(, )= –1/144, (, )= –1/11.

Решение:

14. Непрерывная двумерная случайная величина (, ) распределена равномерно в круге радиуса r с центром в начале координат. Доказать, что ,  зависимы, но не коррелированны (cov(, )=0).

Решение:

- распределена равномерно в .

СЕМИНАР №11 «Закон распределения и характеристики n-мерных случайных величин II» (15 из 16)

СЕМИНАР №11 «Закон распределения и характеристики n-мерных случайных величин II» (16 из 16)

Доказать: - зависимы, по

- зависимы.

- не коррелированны.

15. Двумерное распределение случайных величин ,  задано функцией распределения

Найти .

Указание. Показать, что ,  равномерно распределены на [0, 1] и P{=}=1. Ответ: 1–.

Решение: