Новосибирский Государственный Архитектурно-Строительный Университет (Сибстрин)

Кафедра прикладной математики

Лабораторная работа 4.

Численное интегрирование.

Численные методы решения ОДУ.

В-9

Выполнил Лосев Е.А.

Группа 323

Проверила Соловьева С.И.

Новосибирск 2012

Часть 1.Численое интегрирование.

Постановка задачи

Требуется найти значение определенного интеграла для некоторой заданной на отрезке функции . Для некоторых функций значение интеграла можно найти точно. Однако в общем случае значение интеграла можно найти только приближенно, используя тот или иной способ численного интегрирования.

Численное интегрирование основано на замене интеграла некой суммой . Такая замена следует из определения интеграла как предела суммы . Зафиксировав , мы получим предыдущую сумму.

Приближенное равенство называется квадратурной формулой, – узлами, а - коэффициентами квадратурной формулы. Разность называется погрешностью квадратурной формулы.

Разобьем отрезок на равных частей точками . Получим равномерную сетку: . Тогда .

Для построения квадратурной формулы на всем отрезке достаточно построить квадратурную формулу на частичном отрезке .

Методы решения

Формулы прямоугольников

Пусть , т.е. мы аппроксимируем левой кусочно-постоянной интерполяцией. Тогда получим .

Таким образом, . Эта формула называется формулой левых прямоугольников.

Рис. 4.1. Метод левых прямоугольников

Геометрическая интерпретация метода левых прямоугольников представлена на рис. 4.1, который показывает, что точное значение интеграла (площадь криволинейной области под графиком ) заменяется на сумму площадей прямоугольников, построенных под кусочно-постоянной интерполирующей функцией.

Аналогично может быть получена формула правых прямоугольников. Здесь . В результате получим: .

Рис. 4.2. Метод правых прямоугольников

Оценим погрешность формулы левых прямоугольников:

.

Воспользуемся формулой Тейлора:

.

Тогда Пусть , тогда

, т.е. формула левых прямоугольников имеет первый по порядок точности. Аналогичную оценку можно получить для формулы правых прямоугольников.

Если на каждом отрезке заменить значение функции f(x) на ее значение в середине отрезка, т.е. получим формулу средних прямоугольников: .

Если функция задана таблично, среднее значение на локальном отрезке можно вычислить с помощью линейной интерполяции , и тогда метод средних имеет вид:

Для оценки погрешности метода

.

воспользуемся формулой Тейлора:

.

Тогда

Поскольку и , то

Пусть , тогда

, т.е. формула средних прямоугольников имеет второй порядок точности.

Формула трапеций

Во всех рассмотренных формулах площадь криволинейной трапеции заменялась на площадь прямоугольников.

В методе трапеций криволинейная трапеция заменяется на прямоугольную (рис. 4.3), площадь которой вычисляется по известным формулам: .

Рис. 4.3. Метод трапеций

Формула трапеций может быть также получена путем замены подынтегральной функции интерполяционным полиномом первой степени:

.

Действительно

.

Тогда для всего отрезка получим:

.

Можно показать, что формула трапеций совпадает с формулой средних для таблично заданной функции и также имеет второй порядок точности.

Формулу трапеций можно также записать в виде:

.

Решение

Задана исходная функция и интервал [-1;1], , =0,1..N, h=(b-a)/N.

1.Вычислим точное значение интеграла

2,718282-0,367879=2,350402

2.Вычисление с помощью метода прямоугольников и трапеции

При N=10 h=0,2

=0,22721

=0,24287

=0,00391

=0,00783

=2,123192

=2,593272

=2,34649

=2,358232

Для нахождения интеграла методом левых прямоугольников, необходимо просуммировать элементы третьего ряда в диапазоне и умножить на шаг . Аналогично для формулы правых прямоугольников, суммировать в диапазоне . Сумма элементов пятого столбца, помноженная на шаг, даст результат по формуле средних прямоугольников. Согласно формуле трапеций, необходимо к полусумме первого и последнего значения элементов третьего столбца добавить сумму всех остальных членов этого столбца, и умножить результат на шаг .

-формула левых прямоугольников,

-формула правых прямоугольников,

-формула средних прямоугольников,

-формула трапеции.

При N=20 h=0,1

=0,11556139

=0,119478849

=0,000978661

=0,00195873

=2,23484061

=2,469880849

=2,349423339

=2,35236073

Вывод: для данной функции на интервале [-1;1] наиболее точной является формула средних прямоугольников с погрешностью при n=10 равной 0,00391и при n=20 равной 0,000979